Der Reißverschluss an meiner Jacke klemmt, deshalb hänge ich sie heute nur auf einen Kleiderbügel.

Reißverschluss is a masculine noun, so its dictionary form is der Reißverschluss. In this sentence it is also the subject of klemmt, so it stays in the nominative:

• Der Reißverschluss ... klemmt.

If it were a direct object, you would see den Reißverschluss instead.

Here an means something like on or attached to. A zipper is attached to a jacket, so der Reißverschluss an meiner Jacke means the zipper on my jacket.

Because this is describing a location/attachment, not movement, an takes the dative here, which is why you get meiner Jacke.

A very similar alternative would be:

• Der Reißverschluss meiner Jacke klemmt.

Both are natural.

Because an is being used in a location sense here, and with that meaning it takes the dative.

So:

• nominative: meine Jacke
• accusative: meine Jacke
• dative: meiner Jacke

That is why the sentence has:

• an meiner Jacke

klemmen means to stick, to jam, or to get stuck.

So:

• Der Reißverschluss ... klemmt
  means
• The zipper is jammed / sticking / getting stuck

klemmt is the 3rd person singular present tense form, matching der Reißverschluss.

Because deshalb is an adverb, not a subordinating conjunction.

In a German main clause, the finite verb must come in second position. If deshalb takes the first position, the verb must come right after it:

• Deshalb hänge ich sie ...

Not:

• deshalb ich hänge ...

This is the same pattern as:

• Heute gehe ich nicht.
• Darum mache ich das.
• Deshalb hänge ich sie ...

Because the subject is ich, and the present-tense form of hängen with ich is hänge.

Present tense forms:

• ich hänge
• du hängst
• er/sie/es hängt
• wir hängen
• ihr hängt
• sie/Sie hängen

So ich hänge is the correct form.

sie refers to die Jacke.

Since Jacke is a feminine noun, the matching pronoun is sie. In English we would usually say it, but in German the pronoun follows the noun’s grammatical gender.

So here:

• ich hänge sie ... = I hang it ...

Because it is the direct object of hängen.

The speaker is doing the action of hanging, and the jacket is the thing being hung. That makes it the direct object, so German uses the accusative pronoun:

• ich hänge sie

If you used the full noun instead, it would be:

• Ich hänge die Jacke heute nur auf einen Kleiderbügel.

Because auf is a two-way preposition. It can take:

• accusative for movement/change of position
• dative for location/no movement

Here the jacket is being moved onto a hanger, so German uses the accusative:

• auf einen Kleiderbügel

Compare:

• Ich hänge die Jacke auf einen Kleiderbügel.
  = I put the jacket onto a hanger.

• Die Jacke hängt auf einem Kleiderbügel.
  = The jacket is hanging on a hanger.

Not exactly in this sentence.

Here, auf belongs to the prepositional phrase auf einen Kleiderbügel, so the verb is just hängen.

Compare:

• Ich hänge die Jacke auf.
  Here aufhängen is the separable verb.

• Ich hänge die Jacke auf einen Kleiderbügel.
  Here auf is the preposition introducing einen Kleiderbügel.

The meanings are closely related, but grammatically they are not quite the same.

Kleiderbügel is the normal word for a clothes hanger.

It is a compound noun:

• Kleider = clothes
• Bügel = hanger / bar / frame

The noun is masculine:

• der Kleiderbügel

So in the accusative after auf, it becomes:

• einen Kleiderbügel

German adverb placement is fairly flexible, but this order is very natural.

• heute gives the time: today
• nur means only / just

In this sentence, the speaker means that because the zipper is jammed, today they are only putting the jacket on a hanger.

The position of nur can change the emphasis. For example:

• Deshalb hänge ich sie heute nur auf einen Kleiderbügel.
  Neutral, natural wording.

• Deshalb hänge ich nur sie heute auf einen Kleiderbügel.
  Now nur emphasizes sie.

• Deshalb hänge ich sie nur heute auf einen Kleiderbügel.
  Now nur emphasizes heute.

Yes. That is also perfectly natural.

• Der Reißverschluss an meiner Jacke klemmt
• Der Reißverschluss meiner Jacke klemmt

Both mean essentially the same thing. The version with an meiner Jacke makes the idea of attached to my jacket a little more explicit.