Learn Hardcore German: Wir planen eine Überraschungsparty für unsere Lehrerin und schreiben dafür eine schöne Einladungskarte. - We are planning a surprise party for our female teacher and are writing a nice invitation card for it.

wir planen = “we plan / we are planning”
The form wir sind am Planen exists in colloquial German (especially in some regions), but it is less standard and less general than the English progressive.
In standard written and most spoken German, you just use the present tense:
- Wir planen eine Überraschungsparty. = “We are planning a surprise party.”

Why is it eine Überraschungsparty and not einen Überraschungsparty?

Because Überraschungsparty is feminine in German.

The basic noun is die Party (feminine).
In Überraschungsparty, Party is the “main” part of the compound, so the whole word keeps the same gender: die Überraschungsparty.
In the sentence, eine Überraschungsparty is the direct object (accusative, singular, feminine).
The accusative singular feminine form of ein is eine, not einen.

So:

Nominative: eine Überraschungsparty
Accusative: eine Überraschungsparty
(They are the same for feminine nouns.)

Why is Überraschungsparty written as one long word and capitalized?

German loves compound nouns. When two (or more) nouns are combined to make a new concept, they are written as one word:

Überraschung (surprise) + Party (party) → Überraschungsparty (surprise party)

All nouns in German, including compounds, are capitalized:

die Überraschung
die Party
die Überraschungsparty

You do not write: ~~Überraschungs Party~~ or ~~Überraschungs-Party~~ in standard spelling.

Why is it für unsere Lehrerin? What case is that, and why?

The preposition für in German always takes the accusative case.

für = “for”
Object of für → accusative

The noun phrase is:

unsere Lehrerin (“our (female) teacher”) in the accusative singular feminine.

Forms of unsere Lehrerin:

Nominative: unsere Lehrerin (Our teacher is nice. – Unsere Lehrerin ist nett.)
Accusative: unsere Lehrerin (We plan a party for our teacher. – Wir planen eine Party für unsere Lehrerin.)

So in this sentence, für forces accusative, and for feminine nouns, nominative and accusative look the same.

What is the difference between Lehrer and Lehrerin?

Lehrer = male teacher or (traditionally) a generic teacher (masculine form).
Lehrerin = female teacher (explicitly feminine form).

In modern usage, if you know the teacher is a woman, you say Lehrerin.
Some examples:

der Lehrer – the (male) teacher
die Lehrerin – the (female) teacher
die Lehrer – the teachers (masc. plural or mixed group)
die Lehrerinnen – the (female) teachers only

In your sentence, it’s clearly a female teacher: unsere Lehrerin.

Why do we say unsere Lehrerin and not unserer Lehrerin?

Because of the case:

unsere Lehrerin is in the accusative (object of für).
unserer Lehrerin would be dative feminine.

Mini-table for unsere Lehrerin (singular):

Nominative: unsere Lehrerin – Unsere Lehrerin ist nett.
Accusative: unsere Lehrerin – Wir planen eine Party für unsere Lehrerin.
Dative: unserer Lehrerin – Wir geben unserer Lehrerin eine Karte.
Genitive: unserer Lehrerin – Die Idee unserer Lehrerin war super.

So in your sentence, für → accusative → unsere Lehrerin, not unserer Lehrerin.

What exactly does dafür mean here, and what is it referring to?

dafür literally means “for that” or “for it”, but often translates better as “for this purpose” or just “so / for that” in context.

In your sentence:

Wir planen eine Überraschungsparty … und schreiben dafür eine schöne Einladungskarte.

dafür refers back to the whole idea of planning the surprise party.
So you could paraphrase:

“We are planning a surprise party for our teacher, and for that (for this purpose), we are writing a nice invitation card.”

Can dafür go in other positions, like Wir schreiben eine schöne Einladungskarte dafür?

Yes, dafür is relatively flexible in position, as long as the verb stays in second position. For example:

Wir schreiben dafür eine schöne Einladungskarte. (neutral, natural)
Wir schreiben eine schöne Einladungskarte dafür. (also possible; small emphasis on Einladungskarte)
Dafür schreiben wir eine schöne Einladungskarte. (emphasis on the purpose/contrast: “For that, we are writing…”)

All are grammatically correct. The original order (… und schreiben dafür eine schöne Einladungskarte.) is very natural and common.

Why is the verb schreiben in second position after und? Should it go to the end?

und is a coordinating conjunction, not a subordinating one.

Coordinating conjunctions (e.g. und, oder, aber, denn) connect two main clauses and do not change word order:
- Wir planen … und wir schreiben …
- Often the second wir is omitted: Wir planen … und schreiben …
Subordinating conjunctions (e.g. weil, dass, wenn) send the finite verb to the end of the clause:
- …, weil wir eine Einladungskarte schreiben.

So after und, you still have normal main-clause order: (wir) schreiben (verb in second position), not … und wir eine Einladungskarte schreiben at the end.

Why is it eine schöne Einladungskarte and not eine schön Einladungskarte or einen schönen Einladungskarte?

Two things are going on: article choice and adjective ending.

Article (eine vs. einen)
- Einladungskarte is feminine: die Einladungskarte.
- As direct object (accusative, singular, feminine), ein becomes eine.
- So: eine Einladungskarte, not einen Einladungskarte.
Adjective ending (schön → schöne)
- After an indefinite article eine and before a feminine singular noun in accusative, the adjective takes -e:
  - eine schöne Einladungskarte

Compare:

Nominative feminine: eine schöne Einladungskarte ist wichtig.
Accusative feminine: Wir schreiben eine schöne Einladungskarte.

So eine schöne Einladungskarte is the correct combination.

Why is Einladungskarte also one long word, and what gender is it?

Again, it’s a compound noun:

die Einladung (invitation) + die Karte (card) → die Einladungskarte (invitation card)

Like Überraschungsparty, it’s written as one word and capitalized.

The “head” of this compound is Karte, which is feminine (die Karte), so the entire compound Einladungskarte is also feminine:

die Einladungskarte
eine Einladungskarte (nom./acc. sing.)
die Einladungskarten (plural)

Could I also say: Wir planen für unsere Lehrerin eine Überraschungsparty und schreiben dafür eine schöne Einladungskarte? Is that correct?

Yes, that is grammatically correct.

Word order in German is relatively flexible for elements after the verb, as long as:

the verb remains in second position, and
you don’t create a very unnatural or confusing order.

Both of these are fine:

Wir planen eine Überraschungsparty für unsere Lehrerin …
Wir planen für unsere Lehrerin eine Überraschungsparty …

The first version (party immediately after the verb) is slightly more neutral and common, but your alternative is perfectly acceptable.

Could I say Wir werden dafür eine schöne Einladungskarte schreiben instead of wir schreiben dafür …? What is the difference?

Both are possible, but they have a slightly different feel:

Wir schreiben dafür eine schöne Einladungskarte.
Present tense; in German this can refer to now, soon, or a planned future. Very normal and common for talking about future plans.
Wir werden dafür eine schöne Einladungskarte schreiben.
Explicit future tense; often used when you want to emphasize the future aspect, make a promise, or sound a bit more formal.

In everyday German, for future plans like this, the present tense (wir schreiben) is usually preferred.