Я сожалею, что ответил слишком резко, — сказал я, и она виновато улыбнулась.

“I regret that I answered too sharply,” I said, and she smiled guiltily.

Breakdown of Я сожалею, что ответил слишком резко, — сказал я, и она виновато улыбнулась.

• я: I
• и: and
• сказать: to say
• ответить: to answer

Questions & Answers about Я сожалею, что ответил слишком резко, — сказал я, и она виновато улыбнулась.

Why is что used here?

Here что means that, not what. It introduces a subordinate clause explaining what the speaker regrets:

Я сожалею, что ответил слишком резко
= I regret that I answered too sharply

So что ответил слишком резко is the content of the regret.

Why is it сожалею, and what does it sound like compared with other ways to apologize?

Сожалеть means to regret. Я сожалею is a fairly neutral or slightly formal way to express regret.

It is different from:

• Извините / прости = sorry / forgive me
• Мне жаль = I’m sorry / I feel bad
• Я жалею usually means I pity or I feel sorry for, so it is not the best choice here

So Я сожалею focuses on regret about one’s own action.

Why is ответил in the past tense if сожалею is in the present tense?

Because the two verbs refer to different times.

• сожалею = I regret now, in the present
• ответил = answered earlier, in the past

Russian subordinate clauses use the tense that fits the action itself, just like English:

I regret that I answered too sharply.

So there is nothing unusual here.