Nach dem Sport nehme ich lieber ein heißes Bad als eine Dusche.

German is a verb-second language in main clauses. That means the finite verb must come in the second position.

In this sentence, Nach dem Sport is placed first for emphasis or topic:

• Nach dem Sport = position 1
• nehme = position 2
• ich = then comes after the verb

So:

• Ich nehme nach dem Sport lieber ein heißes Bad ... is also correct.
• Nach dem Sport nehme ich lieber ein heißes Bad ... is just a different word order, with after sports as the starting point.

Both are natural.

Because nach takes the dative case.

So:

• nach dem Sport = after sport / after exercising

The noun Sport is masculine: der Sport.
In the dative singular, der becomes dem:

• nominative: der Sport
• dative: dem Sport

That is why you get nach dem Sport.

No. Nach has several meanings depending on context.

Common ones include:

• after → nach dem Essen = after the meal
• to with cities/countries without article → nach Berlin, nach Deutschland
• according to → nach meiner Meinung is not idiomatic, but meiner Meinung nach = in my opinion / according to my opinion

In Nach dem Sport, it clearly means after because it is followed by a time/event expression.

Yes, and that is completely normal in German.

German often says:

• ein Bad nehmen = to take a bath
• eine Dusche nehmen = to take a shower

This works much like English.

You could also use verbs like:

• baden = to bathe / have a bath
• duschen = to shower

So these are also possible:

• Nach dem Sport bade ich lieber, als zu duschen.
• Nach dem Sport nehme ich lieber ein Bad.

But ein Bad nehmen is very common and idiomatic.

Lieber means preferably, rather, or would rather.

It is the comparative form of gern:

• gern = gladly / like to
• lieber = rather / prefer
• am liebsten = most preferably / like best

So:

• Ich nehme gern ein Bad. = I like taking a bath.
• Ich nehme lieber ein Bad als eine Dusche. = I prefer a bath to a shower.
• Ich nehme am liebsten ein Bad. = I like taking a bath best.

In everyday German, lieber is a very common way to express preference.

Because Bad is a neuter noun: das Bad.

Here it is the direct object, so it is in the accusative case.
For neuter nouns, the indefinite article in the accusative is still ein:

• nominative: ein heißes Bad
• accusative: ein heißes Bad

The adjective ending -es appears because:

• the noun is neuter
• singular
• with ein in a mixed adjective ending pattern

So:

• das Bad
• ein heißes Bad

Because Dusche is a feminine noun: die Dusche.

As the comparison item after als, it stays in the same logical role as ein heißes Bad. The full idea is:

• ... lieber ein heißes Bad als eine Dusche (nehmen).

The second nehmen is simply omitted because it is understood.

So eine Dusche is feminine accusative singular, and that looks like:

• eine Dusche

Because als is used for comparisons of difference, and lieber is a comparative form.

So:

• lieber ... als ... = rather ... than ...

Examples:

• Ich trinke lieber Tee als Kaffee.
• Sie fährt lieber mit dem Zug als mit dem Auto.

By contrast, wie is used for equality:

• so groß wie = as tall as

So here, als is exactly the right word.

Yes, you can think of the full version as:

• Nach dem Sport nehme ich lieber ein heißes Bad als eine Dusche nehme.

But that sounds repetitive, so German leaves the second nehme out.

This kind of omission is very common in comparisons:

• Ich esse lieber Pizza als Salat.
• Er liest lieber Romane als Zeitungen.

The missing verb is understood from the first part.

Yes, das Bad can mean both:

• bath
• bathroom

But context makes the meaning clear.

Here, ein heißes Bad nehmen can only mean to take a hot bath, not to take a hot bathroom. So in this sentence, Bad clearly means bath.

Examples:

• Ich bin im Bad. = I’m in the bathroom.
• Ich nehme ein Bad. = I’m taking a bath.

Yes. A few natural alternatives are:

• Nach dem Sport bade ich lieber, als zu duschen.
• Nach dem Sport dusche ich nicht so gern; ich nehme lieber ein heißes Bad.
• Ich bevorzuge nach dem Sport ein heißes Bad gegenüber einer Dusche.

But your original sentence sounds very natural and everyday.
Using lieber is often more conversational than using bevorzugen.