Learn Hardcore German: Unser Projekt ist neulich fast gescheitert, aber die Chefin hat schnell geholfen. - Our project almost failed recently, but the boss female helped quickly.

Because scheitern (to fail) is an intransitive verb that describes a change of state. In the Perfekt, many intransitives of motion or change of state use sein as the auxiliary: ist gescheitert. Compare:

Er ist gefallen.
Es ist gelungen.
Das Experiment ist fehlgeschlagen. Using hat gescheitert is incorrect.

Where should neulich and fast go? Could I say fast neulich?

neulich is a time adverb (“recently”).
fast means “almost” and should sit close to what it modifies, here the participle gescheitert. Good options:
Unser Projekt ist neulich fast gescheitert.
Neulich ist unser Projekt fast gescheitert. (fronting the time adverb) Avoid:
Unser Projekt ist fast neulich gescheitert. (sounds wrong, as if “almost recently”)
Unser Projekt ist neulich gescheitert fast. (misplaced adverb in the Perfekt)

What’s the difference between neulich, kürzlich, vor kurzem, and letztens?

neulich: very common, conversational “the other day/recently,” timeframe a bit vague.
kürzlich: neutral to slightly formal “recently.”
vor kurzem: neutral “not long ago.”
letztens: colloquial. All fit here:
Unser Projekt ist neulich/kürzlich/vor kurzem/letztens fast gescheitert.

Why is there a comma before aber, and does aber change word order?

There’s a comma because two independent main clauses are joined. Aber is a coordinating conjunction, so it does not send the verb to the end. Correct:

…, aber die Chefin hat schnell geholfen. Wrong:
…, aber die Chefin schnell geholfen hat. (that’s subordinate-clause word order, which doesn’t apply after aber)

Could I use doch or jedoch instead of aber?

Yes, with nuance:

doch = “but/however,” a bit more written/stylistic: …, doch die Chefin hat schnell geholfen.
jedoch is a conjunctive adverb and feels formal; verb stays in second position: …, jedoch hat die Chefin schnell geholfen.
You can also say …, trotzdem hat die Chefin schnell geholfen. (“nevertheless”), which emphasizes concession more strongly than aber.

Does die Chefin specifically mean a female boss? Is Chef a false friend?

die Chefin = female boss; der Chef = male boss.
Chef in German does not mean a restaurant chef. A culinary chef is der Koch/die Köchin (or Chefkoch/Chefköchin for “head chef”). So yes, Chef is a classic false friend.

Would unsere Chefin be better than die Chefin?

Both are possible:

die Chefin = “the boss,” and in a shared workplace context it naturally refers to “our boss.”
unsere Chefin explicitly marks possession and is great if you need to contrast with someone else’s boss or to be extra clear: …, aber unsere Chefin hat schnell geholfen.

Why is Unser capitalized?

Because it starts the sentence. The determiner is normally lowercased (unser), but sentence-initial words are capitalized. Nouns like Projekt and Chefin are always capitalized in German.

Why hat geholfen and not ist geholfen?

helfen forms the Perfekt with haben: hat geholfen. The auxiliary sein is used for many intransitives of motion/change of state (e.g., ist gekommen, ist gescheitert), not for helfen.

Does helfen need an object? Should it be hat uns schnell geholfen?

Usually you mention who is helped in the dative:

Die Chefin hat uns schnell geholfen. You can omit it if it’s obvious from context (as in the sentence). Typical patterns:
jdm (Dat.) helfen: Sie hat dem Team/uns geholfen.
jdm helfen, etwas zu tun: Sie hat uns geholfen, das Problem zu lösen.
bei + Dat.: Sie hat uns bei dem Problem geholfen.

Is schnell the same as sofort?

Not exactly:

schnell = quickly (high speed).
sofort = immediately (without delay). So:
Sie hat schnell geholfen = she helped fast.
Sie hat sofort geholfen = she helped right away.
You can also use rasch, zügig, or prompt depending on tone/register.

Could I say fehlgeschlagen or misslungen instead of gescheitert?

Sometimes, but they’re not identical:

scheitern: projects/efforts fail overall. Das Projekt ist (fast) gescheitert.
fehlschlagen: attempts/measures backfire or don’t work. Der Versuch ist fehlgeschlagen.
misslingen (jdm): something turns out unsuccessful for someone. Der Plan ist ihm misslungen. For a project nearly failing, (fast) gescheitert is the most idiomatic.

How would this look in subordinate clauses?

In subordinate clauses, the finite verb goes to the end:

…, weil unser Projekt neulich fast gescheitert ist.
…, weil die Chefin schnell geholfen hat. With dass:
…, dass die Chefin schnell geholfen hat.

Can I specify the reason with an + Dativ after scheitern?

Yes. an + Dativ marks the cause/obstacle:

Unser Projekt ist fast am Budget gescheitert.
Die Verhandlungen sind an der Zeitnot gescheitert.

Would the simple past be acceptable: scheiterte / half?

Yes, especially in written or formal styles:

Unser Projekt scheiterte neulich fast, aber die Chefin half schnell. In everyday spoken German, the Perfekt (ist gescheitert, hat geholfen) is more common.