Powinniśmy byli sprawdzić, czy w domu jest jeszcze śmietana.

to be

Breakdown of Powinniśmy byli sprawdzić, czy w domu jest jeszcze śmietana.

• my: we
• w: at
• powinien: should

Questions & Answers about Powinniśmy byli sprawdzić, czy w domu jest jeszcze śmietana.

What does powinniśmy byli mean?

It means we should have in the sense of a past obligation that was not carried out.

So:

• powinniśmy sprawdzić = we should check
• powinniśmy byli sprawdzić = we should have checked

The extra byli is what gives the sentence that past, missed-obligation meaning.

Why is byli there? Can it be omitted?

In this sentence, byli is important.

• Powinniśmy sprawdzić sounds like a present or general recommendation: we should check
• Powinniśmy byli sprawdzić means we should have checked earlier

So if you omit byli, you change the time reference and the meaning.

Why is sprawdzić an infinitive?

Because after powinniśmy byli Polish normally uses the infinitive of the action that should have happened.

So the structure is:

• powinniśmy byli + infinitive

Examples:

• Powinniśmy byli zadzwonić = We should have called
• Powinniśmy byli sprawdzić = We should have checked

Using a finite past-tense verb here would not fit this structure.