L'adozione inizia con il modulo di adozione.

Because the full article is la, and la usually drops its final vowel before a word that begins with a vowel:

• la adozione → l'adozione

This is called elision. It is very common in Italian:

• l'amica
• l'idea
• l'acqua

Italian uses the definite article more often than English, especially with nouns used in a general or abstract sense. So l'adozione is natural even where English might simply say adoption.

In other words, Italian often prefers:

• La vita è breve
• L'amore è complicato
• L'adozione inizia...

Yes, adozione is feminine singular, which is why it takes la / l'.

A useful pattern: many nouns ending in -zione are feminine:

• nazione
• lezione
• informazione
• adozione

So:

• singular: l'adozione
• plural: le adozioni

Inizia is the third-person singular present indicative of iniziare.

It matches the subject l'adozione, which is singular.

Conjugation:

• io inizio
• tu inizi
• lui/lei inizia
• noi iniziamo
• voi iniziate
• loro iniziano

Because iniziare con is a normal Italian pattern meaning to begin with.

So the structure is:

• iniziare con qualcosa = to start with something

Examples:

• Il corso inizia con una presentazione.
• La lezione comincia con un esercizio.

Because modulo is a masculine singular noun, so it takes il.

Compare:

• il modulo
• i moduli

If it were feminine, it would use la, but modulo is masculine.

Here di links two nouns and means something like for or related to in English.

So modulo di adozione means the kind of form it is: an adoption form.

This use of di is very common:

• carta di credito
• corso di italiano
• scarpe di tennis

Because the simple preposition di normally stays di before a vowel in standard modern Italian.

So:

• di adozione is correct
• d'adozione is not the normal choice here

Elision is very common with articles like la → l', but not usually with plain di.

Yes, it is natural. The phrase modulo di adozione is a specific noun phrase, so repeating adozione is perfectly normal.

Italian often keeps this kind of repetition when it makes the meaning clear and precise. If the context were already obvious, a speaker might shorten it to just il modulo, but in a full sentence il modulo di adozione is clear and standard.

No, it is very straightforward.

The sentence is:

• L'adozione = subject
• inizia = verb
• con il modulo di adozione = prepositional phrase

So it follows a normal subject + verb + complement pattern, which is similar to English.