Learn Hardcore German: Unter dem Tisch liegt ein Verlängerungskabel, damit alle Steckdosen genutzt werden können. - Under the table there is an extension cable so that all sockets can be used.

Unter dem Tisch liegt ein Verlängerungskabel.
- The prepositional phrase Unter dem Tisch is moved to the first position (for emphasis on where).
- The verb liegt must then come second.
- The subject ein Verlängerungskabel comes after the verb.
Ein Verlängerungskabel liegt unter dem Tisch.
- Here, the subject is in first position, and liegt is still second.

So the sentence starts with Unter dem Tisch mainly for style and emphasis, not because the other order is wrong.

Why is it dem Tisch and not den Tisch after unter?

Unter is a two-way preposition (Wechselpräposition). It can take either:

dative (location, where something is), or
accusative (direction, where something is going).

In this sentence, the cable is simply lying under the table (no movement), so it is a location:

unter dem Tisch → dative singular masculine
- der Tisch (nominative)
- dem Tisch (dative)

If there were movement towards under the table, you would use the accusative:

Ich lege das Verlängerungskabel unter den Tisch. (I am laying the cable under the table.)

When does unter take dative and when accusative?

Use unter + dative for where something is (position, no movement):

Das Kabel liegt unter dem Tisch. – The cable is lying under the table.
Wir sitzen unter dem Baum. – We are sitting under the tree.

Use unter + accusative for where something is going (movement towards a place):

Ich schiebe den Stuhl unter den Tisch. – I push the chair under the table.
Der Hund rennt unter das Bett. – The dog runs under the bed.

In your sentence, the cable is already there and not moving, so dative: unter dem Tisch.

Why is it ein Verlängerungskabel and not eine Verlängerungskabel or einen Verlängerungskabel?

The word Verlängerungskabel is:

neuter (das Verlängerungskabel)
singular
in the nominative case (it is the subject of the sentence)

The indefinite article for neuter nominative is ein:

ein Tisch? → no (Tisch is masculine: ein Tisch)
ein Lampe? → no (Lampe is feminine: eine Lampe)
ein Verlängerungskabel → yes, because it’s neuter: das Verlängerungskabel

So:

nominative neuter: ein Verlängerungskabel
accusative neuter: ein Verlängerungskabel (same form)

How is the compound noun Verlängerungskabel built, and what does each part mean?

Verlängerungskabel is a compound:

Verlängerung – extension, lengthening
Kabel – cable

So literally: extension cable.

Grammatically:

The last part of the compound decides the gender: Kabel is neuter (das Kabel) → das Verlängerungskabel.
The plural is usually formed from the last part as well. The common plural is die Verlängerungskabel (no extra ending).

Why is there a comma before damit?

Damit here is a subordinating conjunction (like weil, dass, obwohl). It introduces a subordinate clause that explains the purpose of the main clause.

Rule: A subordinate clause introduced by a subordinating conjunction is separated from the main clause by a comma.

Main clause: Unter dem Tisch liegt ein Verlängerungskabel
Subordinate clause: damit alle Steckdosen genutzt werden können

Hence the comma:

Unter dem Tisch liegt ein Verlängerungskabel, damit alle Steckdosen genutzt werden können.

What is the difference between damit and um ... zu for expressing purpose? Could I say … um alle Steckdosen nutzen zu können instead?

Both damit and um ... zu can express purpose, but they are used differently:

damit + full clause (with a subject and a finite verb)
- damit alle Steckdosen genutzt werden können
- verb goes to the end in typical subordinate-clause order.
um ... zu + infinitive (no separate subject; it refers to the subject of the main clause)
- … um alle Steckdosen nutzen zu können.
- structure: um + (object etc.) + zu + infinitive (+ modal infinitive)

In your sentence, you could say:

Unter dem Tisch liegt ein Verlängerungskabel, um alle Steckdosen nutzen zu können.

This is correct and fairly natural.
Subtle difference:

damit can more easily refer to a different subject than in the main clause:
- Ich lege das Kabel unter den Tisch, damit du alle Steckdosen nutzen kannst.
um ... zu normally refers back to the subject of the main clause:
- Ich lege das Kabel unter den Tisch, um alle Steckdosen nutzen zu können. (→ I can use them)

In your original sentence, both are acceptable because the subject is impersonal/understood rather than explicit.

Why is the word order damit alle Steckdosen genutzt werden können and not damit alle Steckdosen können genutzt werden?

Because damit introduces a subordinate clause, and in German subordinate clauses all the verbs go to the end of the clause.

The general order in a subordinate clause (with multiple verbs) is:

Other elements (subject, objects, adverbials, etc.)
Then at the end:
- participle(s) or infinitive(s)
- then auxiliary verb(s)
- then modal verb (if present) is last

In your clause:

Subject: alle Steckdosen
Past participle: genutzt
Auxiliary for the passive: werden
Modal verb: können (goes to the very end)

So the correct order is:

damit alle Steckdosen genutzt werden können.

Incorrect orders like … damit alle Steckdosen können genutzt werden break this rule and sound wrong to native speakers.

Why is the passive used: alle Steckdosen genutzt werden können instead of an active form?

The passive is used here to focus on the Steckdosen (sockets) rather than on who is using them.

Passive: alle Steckdosen können genutzt werden
- Focus: the sockets are usable.
- The user is not important or is general (anyone).

An active version would need a subject:

damit man alle Steckdosen nutzen kann – so that one/people can use all the sockets.
damit wir alle Steckdosen nutzen können – so that we can use all the sockets.

Your sentence uses the passive because the idea is more neutral/impersonal: it emphasizes the possibility of using all sockets, not the users. Both forms are grammatically valid; the passive is just stylistic choice.

Why is it alle Steckdosen and not alle Steckdose? And what exactly is a Steckdose?

Steckdose means power socket / electrical outlet. Its forms:

singular: die Steckdose
plural: die Steckdosen

Feminine nouns often take -n in the plural:

die Lampe → die Lampen
die Tasche → die Taschen
die Steckdose → die Steckdosen

So:

alle Steckdose → incorrect (missing plural ending)
alle Steckdosen → correct plural form

Also, don’t confuse:

die Steckdose – the socket/outlet in the wall
der Stecker – the plug on the cable
die Steckdosenleiste – power strip with multiple sockets

Why is it genutzt and not benutzt or gebraucht? Do they mean the same?

nutzen, benutzen, and gebrauchen are related but not identical.

nutzen – to be of use / to make use of (often slightly more formal/abstract)
- Wir nutzen alle Steckdosen.
benutzen – to use (very common everyday verb)
- Wir benutzen alle Steckdosen.
gebrauchen – to use (often sounds more formal, sometimes old-fashioned or in fixed expressions)
- Ich kann deine Hilfe gut gebrauchen.

In many contexts, nutzen and benutzen overlap, and both are acceptable. Here:

alle Steckdosen genutzt werden können
→ can all be used / can all be made use of

You could also say:

… damit alle Steckdosen benutzt werden können.

This is also correct. The choice of nutzen vs benutzen is largely stylistic here.

Is können really necessary? Could I just say damit alle Steckdosen genutzt werden?

You could say damit alle Steckdosen genutzt werden, and it is grammatically correct. The nuance is different:

damit alle Steckdosen genutzt werden können
- emphasizes possibility: so that all sockets *can be used*.
damit alle Steckdosen genutzt werden
- sounds more like a guaranteed outcome or expectation: so that all sockets are (indeed) used.

In the original sentence, the idea is more about making it possible (providing an extension cable so that it is possible to use them all), so können fits better.