Learn Hardcore German: Wir haben den Termin nicht verschieben dürfen, deshalb kamen wir pünktlich. - We were not allowed to postpone the appointment, therefore we arrived on time.

With a modal verb that governs another verb, German forms the perfect with a double infinitive: auxiliary haben + the full verb in the infinitive + the modal in the infinitive. Hence: Wir haben den Termin nicht verschieben dürfen.

Correct: Ich habe gehen müssen. / Wir haben das machen können.
Incorrect here: Wir haben den Termin nicht gedurft verschieben or Wir haben den Termin nicht verschoben dürfen.
You only use the participle gedurft/gemusst/gekönnt when the modal stands on its own: Ich habe das nicht gedurft.

What exactly does the nicht negate here, and is its position correct?

Yes. Nicht precedes the infinitive cluster to negate the whole idea of being allowed to reschedule: nicht verschieben dürfen = “not be allowed to reschedule.”

Wir haben den Termin nicht verschieben dürfen. = We had no permission to reschedule.
Wir haben nicht den Termin verschieben dürfen. shifts the focus: it implies we were allowed to reschedule something, but not that specific appointment (contrastive/emphatic).
Avoid: Wir haben den Termin verschieben dürfen nicht (ungrammatical).

Why does the verb come before the subject after deshalb (… deshalb kamen wir …)?

German is a verb-second language. When deshalb occupies the first position, the finite verb must come second, so the subject follows the verb: Deshalb kamen wir … This is the normal inversion after a fronted element.

Also possible: Wir kamen deshalb pünktlich. (same meaning)

Why is there a comma before deshalb?

You’re separating two independent main clauses. In German, main clauses separated without a conjunction must be divided by a comma. Deshalb is a sentence adverb, not a conjunction, so the comma is required:

Wir haben … dürfen, deshalb kamen wir …
Alternatives: a period or semicolon: … dürfen. Deshalb … or … dürfen; deshalb …
You can also add a coordinator: …, und deshalb kamen wir …

Can I also say Wir durften den Termin nicht verschieben?

Yes. That’s the simple past (Präteritum) of the modal and is very common, even in speech:

Wir durften den Termin nicht verschieben.
Wir haben den Termin nicht verschieben dürfen.

Both mean the same; the first uses simple past, the second the present perfect. For modal verbs, Präteritum is often preferred in both writing and conversation.

Why not deshalb sind wir pünktlich gekommen?

You can say that too. Both are fine:

Deshalb kamen wir pünktlich. (Präteritum of kommen)
Deshalb sind wir pünktlich gekommen. (Perfekt of kommen)

In everyday speech, Germans often use Perfekt; in writing, Präteritum is common. The meaning is the same.

Is kamen wir pünktlich idiomatic, or should it be ankamen?

Pünktlich kommen is idiomatic and fine. If you want to emphasize arrival, ankommen is even more precise:

Wir kamen pünktlich.
Wir kamen pünktlich an. / Wir sind pünktlich angekommen.
You can also say: Wir waren pünktlich. (we were on time)

Why is it den Termin and not der Termin?

Because verschieben takes a direct object in the accusative. Termin is masculine; the masculine accusative singular article is den:

Nominative: der Termin
Accusative: den Termin (We’re moving/rescheduling the appointment)

If it were indefinite: einen Termin.

Does nicht dürfen mean “not allowed” or “not able”?

Nicht dürfen means “not allowed / must not,” i.e., a lack of permission.

Wir dürfen das nicht. = We mustn’t / are not allowed to do that.
Wir können das nicht. = We can’t (are not able to) do that.
Beware: nicht müssen = “don’t have to,” not “must not.”
- Wir müssen das nicht tun. = We don’t have to do it (it’s optional).

Could I use weil instead of deshalb?

Yes. You can express the cause with a subordinate clause:

Wir kamen pünktlich, weil wir den Termin nicht verschieben durften.
Or front it: Weil wir den Termin nicht verschieben durften, kamen wir pünktlich.

If you insist on perfect with a modal, the subordinate clause can be: …, weil wir den Termin nicht haben verschieben dürfen. (grammatical but often stylistically avoided in favor of durften)

Why is there no zu before verschieben?

True modals (dürfen, können, müssen, sollen, wollen, mögen) take a bare infinitive, not zu:

Wir haben den Termin verschieben dürfen.
Not: … zu verschieben dürfen.

Why is the auxiliary haben used with a modal—don’t some verbs take sein?

With modals that govern another verb, the perfect uses haben regardless of which auxiliary the other verb would normally take:

Ich habe gehen müssen. (not: Ich bin gehen müssen.)
Er hat kommen dürfen. (standard; some dialects may vary)

In your sentence, the full verb is verschieben, which takes haben anyway.

Is verschieben the best verb here? What about verlegen?

Both can work with Termin:

einen Termin verschieben = reschedule, typically later (postpone/delay).
einen Termin verlegen = move an appointment (earlier or later), often used in business/official contexts.

Note: verlegen also means “to misplace” or “to lay (flooring),” so verschieben is the safest general choice for “reschedule.”

What’s the difference between pünktlich and rechtzeitig?

pünktlich = on time (at the agreed time). Focus on the exact point in time.
- Wir kamen pünktlich.
rechtzeitig = in time (early enough to avoid problems). Focus on sufficiency/lead time.
- Wir waren rechtzeitig da (early enough, possibly before the exact time).