Pongo una manta encima del colchón de mi cama cuando hace frío.

Pongo is the first-person singular (yo) present of poner. Spanish often drops the subject pronoun, so pongo already means "I put." The verb is irregular in the yo form: pongo, not “pono.” Useful forms:

• Present: yo pongo, tú pones, él/ella/usted pone, nosotros ponemos, vosotros ponéis, ellos/ustedes ponen
• Past participle: puesto
• Preterite: puse, pusiste, puso, etc.

Both are fine:

• Encima de mi colchón is the simplest.
• Encima del colchón de mi cama explicitly links the mattress to your bed (useful if there are multiple mattresses). Spanish commonly uses de to show possession or association.

It’s grammatical and understandable. If you mean extra insulation under the fitted sheet, say:

• Pongo una manta entre el colchón y la sábana bajera. If you mean covering yourself, Spaniards usually say:
• Me tapo con una manta. / Me arropo con una manta. If you mean on the made bed (over the top sheet):
• Pongo una manta encima de las sábanas or sobre la cama.

Use tener: Tengo frío.

• Hace frío = It’s cold (weather/room).
• Tengo frío = I feel cold.

Yes, with future reference:

• Habitual/general: Cuando hace frío, pongo una manta.
• Future: Cuando haga frío, pondré una manta. (“When it gets cold, I’ll put…”) Past contrasts:
• Repeated in the past: Cuando hacía frío, ponía una manta.
• One specific past time: Cuando hizo frío, puse una manta.

Yes, la (because manta is feminine):

• La pongo encima del colchón de mi cama cuando hace frío. With two verbs, both positions are fine:
• Voy a ponerla / La voy a poner encima del colchón… Commands:
• Affirmative: Ponla encima del colchón.
• Negative: No la pongas encima del colchón.

It’s understandable, but in Spain you’ll more naturally hear:

• Me tapo con una manta or Me arropo con una manta (“I cover myself with a blanket”). Use ponerse mainly with clothing: Me pongo un jersey.