Я повешу мокрый свитер на балконе, чтобы он быстрее высох.

I

Breakdown of Я повешу мокрый свитер на балконе, чтобы он быстрее высох.

• на: on
• чтобы: so that
• быстрее: faster

Questions & Answers about Я повешу мокрый свитер на балконе, чтобы он быстрее высох.

Why is повешу used instead of вешаю / буду вешать?

Повешу is the perfective verb (повесить) in the simple future, emphasizing a completed result: I’ll hang it up (and it will be hung up).
Вешаю would mean I’m hanging it up (right now / habitually), and буду вешать (imperfective future) focuses more on the process: I’ll be hanging it up.

What verb is повешу from, and how is it conjugated?

It’s from повесить (perfective). Conjugation (future):

• я повешу
• ты повесишь
• он/она повесит
• мы повесим
• вы повесите
• они повесят
  Stress is typically повЕшу, повЕсишь, повЕсит…

Is повесить related to повеситься (to hang oneself)? That seems confusing.

Yes, they share the same root, but they’re different constructions:

• повесить (что? кого?) = to hang something/someone (transitive)
• повеситься = to hang oneself (reflexive, tragic meaning)
  In everyday contexts like clothes, повесить свитер is completely normal.