Learn Hardcore Greek: Σήμερα πήγαμε το κατοικίδιο στον κτηνίατρο, γιατί δεν έτρωγε καλά. - Today we took the pet to the vet, because she wasn’t eating well.

In Greek, πηγαίνω / πάω can be used transitively (with a direct object) to mean take (someone/something somewhere), especially in everyday speech.
So πήγαμε το κατοικίδιο στον κτηνίατρο literally looks like “we went the pet to the vet,” but it means “we took the pet to the vet.”
A more explicit alternative is πήγαμε το κατοικίδιο μας στον κτηνίατρο (we took our pet to the vet) or το πήγαμε στον κτηνίατρο (we took it to the vet).

Why is it το κατοικίδιο (with το)—what gender is it and how does that affect the sentence?

κατοικίδιο is neuter, so it takes the neuter article το in the singular.
Here it’s also the direct object of πήγαμε (“we took what?”), so it appears in the accusative, which for neuter looks the same as the nominative: το κατοικίδιο.

What does στον κτηνίατρο mean grammatically, and why isn’t it σε τον?

στον is a contraction of σε + τον (“to the”). Greek commonly contracts σε + definite article:

σε + τον → στον
σε + την → στην
σε + το → στο
κτηνίατρο is in the accusative because σε takes the accusative: (to) the vet.

Why is κτηνίατρο not ?