Learn Hardcore German: Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufällig eine englische Vokabel, über die wir lachen müssen. - On the back of the tablecloth there happens to be an English vocabulary word that we have to laugh about.

Wo steht die Vokabel? – Auf der Rückseite. → dative (der)
If it were about putting it there:
Er schreibt die Vokabel auf die Rückseite. (movement → accusative die)

So auf der Rückseite is dative because it describes a static location.

What is going on with der Tischdecke? Why not von der Tischdecke?

Here, der Tischdecke is genitive singular feminine, depending on Rückseite:

die Rückseite der Tischdecke = “the back side of the tablecloth”

For feminine nouns, genitive singular looks like this:

Nominative: die Tischdecke
Genitive: der Tischdecke
Dative: der Tischdecke
Accusative: die Tischdecke

So der can be genitive or dative; here it’s genitive because it answers “of what?” (back side of what?).

You could also say:

auf der Rückseite von der Tischdecke

That’s grammatically fine but more colloquial. Genitive der Tischdecke sounds a bit more neutral/standard, especially in written German.

Why do we use steht instead of something like ist or es gibt?

German often uses stehen (literally “to stand”) for text that is written or printed somewhere:

Auf dem Schild steht: „…“ – “The sign says: ‘…’”
In der Zeitung steht ein Artikel über dich. – “There’s an article about you in the newspaper.”

So:

Auf der Rückseite der Tischdecke steht …
= “On the back side of the tablecloth there is / it says …”

Using ist (Auf der Rückseite ist eine englische Vokabel) is understandable but sounds less idiomatic.
Es gibt would be odd here: Es gibt is used more for “there exists / there is (in general)”, not so much for something specifically printed or written in a location.

Why is the word order Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufällig eine englische Vokabel and not … eine englische Vokabel steht zufällig …?

In main clauses, German is verb‑second: the finite verb must be in the second position (the “second slot”), but the entire first slot can be a long phrase.

Here:

Auf der Rückseite der Tischdecke → first position (a prepositional phrase)
steht → second position (finite verb)
The rest (zufällig eine englische Vokabel) comes after the verb.

So the structure is:

[Prepositional phrase] – [verb] – [middle field]

You could also say:

Auf der Rückseite der Tischdecke steht eine englische Vokabel zufällig.
Auf der Rückseite der Tischdecke steht eine englische Vokabel. (and drop zufällig)

But steht zufällig eine englische Vokabel is very natural: zufällig sits in the “middle field” between the verb and the subject, which is common for sentence adverbs like “by chance”.

What exactly does zufällig mean here, and where can it go in the sentence?

zufällig means “by chance / coincidentally”, not “random” in the slangy English sense of “weird”.

In this sentence it modifies the whole situation:

Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufällig eine englische Vokabel …
= “It just so happens that there is an English word on the back of the tablecloth …”

Possible positions (all correct, with slightly different rhythm/emphasis):

Zufällig steht auf der Rückseite der Tischdecke eine englische Vokabel …
Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufällig eine englische Vokabel …
Auf der Rückseite der Tischdecke steht eine englische Vokabel zufällig … (less common, but possible)

A more explicit variant is zufälligerweise, which feels a bit stronger:
Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufälligerweise eine englische Vokabel …

What does Vokabel mean here? Is it just “word”? How is it different from Wort or Vokabular?

die Vokabel is a single vocabulary item, typically in a language‑learning context:

Vokabeln lernen – “to learn vocabulary (words)”
eine neue Vokabel – “a new vocabulary item / a new word (you’re learning)”

Differences:

das Wort – a word in general
ein englisches Wort = “an English word” (neutral)
die Vokabel – a word specifically as an item on your vocab list, in a textbook, etc.
eine englische Vokabel = “an English vocabulary item”
das Vokabular – the set of words someone knows; equivalent to “vocabulary” as a mass noun
ein großer Wortschatz / ein großes Vokabular – “a large vocabulary”

So eine englische Vokabel suggests something like “an English word (from a vocab list / as a learning item)”, which fits nicely with people noticing and laughing about it.

Why do we say eine englische Vokabel and not something like ein englischer Vokabel?

This is about gender and adjective endings.

Vokabel is feminine: die Vokabel
In nominative singular feminine with eine, adjectives end in ‑e:
- eine englische Vokabel
- eine neue Vokabel
- eine kleine Stadt
- eine rote Blume

So the pattern is:

Article: eine (feminine nominative singular)
Adjective: englische (‑e ending in this position)
Noun: Vokabel

ein englischer Vokabel is wrong for two reasons:

ein is not the correct article for a feminine noun (needs eine),
englischer is the masculine nominative ending, but Vokabel is feminine.

What is going on in über die wir lachen müssen? How does the die work?

This is a relative clause referring back to eine englische Vokabel.

Antecedent: eine englische Vokabel (feminine, singular)
Relative pronoun: die (feminine singular form)

The relative pronoun’s gender and number come from its antecedent (Vokabel), but its case comes from its role in the relative clause.

In the clause wir lachen über die, the pronoun is the object of the preposition über, and über takes the accusative:

Über wen / was lachen wir? – Über die (Vokabel).

So die here is feminine singular accusative (same form as nominative feminine singular).

Full breakdown:

… eine englische Vokabel, über die wir lachen müssen.
= “… an English word that we have to laugh about.”

Could we say worüber wir lachen müssen instead of über die wir lachen müssen?

Yes, but it changes the structure slightly.

… eine englische Vokabel, über die wir lachen müssen.
uses a relative pronoun (die) referring clearly to Vokabel.
… eine englische Vokabel, worüber wir lachen müssen.
uses a wo(r)+preposition construction (worüber) which is more like “what we laugh about”.

In careful, standard German, über die is preferred here because you have a clear noun (Vokabel) as the antecedent, and die agrees with it in gender and number.

worüber is very common when the antecedent is more abstract or not a concrete noun:

Ich weiß nicht, worüber wir lachen sollen. – “I don’t know what we’re supposed to laugh about.”

Why is the verb order wir lachen müssen and not wir müssen lachen in … über die wir lachen müssen?

Because this is a subordinate clause (introduced by a relative pronoun die), and in subordinate clauses, all finite verbs go to the end.

With a modal verb plus a main verb, the typical order is:

[subordinate clause] … Verb 1 (main verb) + Verb 2 (modal).

So:

Main verb: lachen
Modal verb (finite): müssen
Subordinate clause: … über die wir lachen müssen.

In a main clause, you would say:

Wir müssen über diese Vokabel lachen. (finite verb in 2nd position, then main verb at the end)

But in the relative clause, the cluster must go to the end, and standard order is lachen müssen, not müssen lachen.

Why do we say lachen über something? Could we say lachen auf or use another preposition?

The standard pattern in German is:

über etwas / jemanden lachen – “to laugh about/at something or someone”

Examples:

Wir lachen über den Witz. – “We laugh at the joke.”
Sie lachen über ihn. – “They laugh at him.”

So in the sentence:

… eine englische Vokabel, über die wir lachen müssen.
= “… an English word that we have to laugh about.”

Alternatives (with slightly different nuances):

jemanden auslachen – to laugh at someone (often meanly)
sich lustig machen über jemanden/etwas – to make fun of someone/something

But lachen auf is not used in this sense. The idiomatic preposition here is über with the accusative.

Could we say ein englisches Wort instead of eine englische Vokabel? Would it change the meaning?

Yes, you can say:

Auf der Rückseite der Tischdecke steht zufällig ein englisches Wort, über das wir lachen müssen.

This is correct and very natural. The difference is only in nuance:

eine englische Vokabel – feels like “an English vocab item”, slightly school/textbook flavoured.
ein englisches Wort – neutral “an English word”.

Both convey essentially the same idea in this context; the author just chose Vokabel, perhaps to highlight that it’s the kind of word you’d find on a vocabulary list.