Learn Hardcore German: Nach dem Konzert schwärmten viele Leute von der Stimme der Sängerin. - After the concert many people raved about the singer’s voice.

Here schwärmen von etwas means “to rave about something / to gush about something / to enthuse about something.”
So viele Leute schwärmten von der Stimme = many people were talking very enthusiastically about the voice.

The verb schwärmen by itself can also mean “to swarm” (like bees or people moving in a crowd):

Die Fans schwärmten aus dem Stadion. – The fans swarmed out of the stadium.

So:

schwärmen von + Dativ → to rave about something
(aus)schwärmen (without von) → to swarm (literally or figuratively)

Why is it schwärmten and not schwärmte?

Because the subject viele Leute is 3rd person plural.

Leute is always plural in German (there is no singular das Leut).
The simple past (Präteritum) of schwärmen:
- ich schwärmte
- du schwärmstest
- er/sie/es schwärmte
- wir schwärmten
- ihr schwärmtet
- sie schwärmten

So with viele Leute (they), you need schwärmten.

Why is the tense schwärmten (simple past)? Could I also say haben … geschwärmt?

Yes, you can also say:

Nach dem Konzert haben viele Leute von der Stimme der Sängerin geschwärmt.

Both are grammatically correct and mean the same.

Difference in feel:

schwärmten (simple past / Präteritum) – more typical in written German, especially narratives (like reports, books, articles).
haben geschwärmt (present perfect / Perfekt) – more typical in spoken German in many regions.

So the chosen sentence looks a bit more written/literary, but it’s perfectly normal German.

Why is it Nach dem Konzert and not Nach das Konzert?

Because the preposition nach takes the dative case.

nach + Dativ → nach dem Konzert

Konzert is neuter:

Nominative: das Konzert
Dative: dem Konzert

So:

nach dem Konzert = after the concert
Saying nach das Konzert would be incorrect.

Why do we say von der Stimme and not über die Stimme?

With schwärmen, the normal idiomatic construction for “rave about something” is:

von etwas schwärmen

So you usually say:

von der Stimme schwärmen
von dem Film schwärmen
von diesem Restaurant schwärmen

You can find über etwas schwärmen, but von is far more common and sounds more natural.
Think of schwärmen von as a fixed combination you should learn as a unit.

What case is der Stimme, and why is it der and not die?

Stimme is a feminine noun:

Nominative: die Stimme
Dative: der Stimme
Genitive: der Stimme
Accusative: die Stimme

The preposition von always takes the dative case:

von + Dativ → von der Stimme

So der Stimme here is dative feminine singular because of von.
It is not nominative; nominative would be die Stimme.

What case is der Sängerin, and why does der appear again?

Sängerin is also feminine. In the phrase:

von der Stimme der Sängerin

the structure is:

Stimme = head noun
der Sängerin = genitive attribute (“of the singer”)

So der Sängerin is genitive feminine singular, showing possession:

die Stimme der Sängerin = the singer’s voice / the voice of the singer

The form der is used for both dative and genitive feminine singular, which is why it can be confusing:

Dative feminine: von der Sängerin, mit der Sängerin
Genitive feminine: die Stimme der Sängerin

Here, von governs Stimme, not Sängerin, so:

von der Stimme (dative)
der Sängerin (genitive, attached to Stimme)

Isn’t it redundant to have von and also a genitive (der Sängerin) in the same phrase?

No, because they relate to different things:

von der Stimme – “about the voice” (von
- dative)
der Sängerin – “of the singer” (genitive showing whose voice it is)

So the structure is:

(von) [der Stimme] [der Sängerin]
→ (about) [the voice] [of the singer]

You are not saying von der Sängerin here. The von only governs Stimme.

Could I say Nach dem Konzert schwärmten viele Leute von der Sängerin instead?

Yes, that’s grammatically correct, but the meaning is slightly different:

von der Stimme der Sängerin schwärmen – specifically rave about her voice.
von der Sängerin schwärmen – rave about her in general (her presence, looks, performance, personality, etc.).

Both are natural; the original sentence is just more precise about what they were raving about.

Can I change the word order? For example: Viele Leute schwärmten nach dem Konzert von der Stimme der Sängerin.

Yes. German word order is fairly flexible as long as you respect the verb position:

Main clause rule: the conjugated verb must be in second position.

Some correct variants:

Nach dem Konzert schwärmten viele Leute von der Stimme der Sängerin.
Viele Leute schwärmten nach dem Konzert von der Stimme der Sängerin.
Viele Leute schwärmten von der Stimme der Sängerin nach dem Konzert.

All are correct; they just change the emphasis a bit.
You must not move the verb away from the second position in a main clause, e.g.:

✗ Nach dem Konzert viele Leute schwärmten von der Stimme der Sängerin. (wrong)

Why is it viele Leute and not vielen Leuten?

Because viele Leute is the subject of the sentence and therefore in the nominative case.

Wer schwärmte? → viele Leute (who raved? many people) → nominative.

The forms are:

Nominative plural: viele Leute
Dative plural: vielen Leuten

So:

Viele Leute schwärmten … (subject, nominative) – correct.
Mit vielen Leuten (with many people, dative after mit) – different role, different case.