Learn Hardcore German: Auf dem Bauernhof arbeitet eine junge Bäuerin mit vielen Tieren. - On the farm a young female farmer works with many animals.

auf (+ dative, for location) is used for:
- open spaces or surfaces: auf dem Platz (in the square), auf dem Feld (in the field)
- certain institutions: auf der Arbeit (at work), auf der Post (at the post office)

A Bauernhof (farmyard/farmstead) is understood as a kind of area/grounds, so German idiomatically says:

auf dem Bauernhof = on/at the farm

im Bauernhof (in + dem) would mean inside the farm building and is not how you normally talk about working on a farm.
am Bauernhof (an + dem) is regionally possible in some dialects, but the standard is auf dem Bauernhof.

Why is it dem Bauernhof and not den Bauernhof or der Bauernhof?

The basic noun is der Bauernhof (masculine, nominative singular).
auf is a two-way preposition:
- with dative for location (answering wo? – where?)
- with accusative for direction (answering wohin? – where to?)

Here the meaning is where she works (location), so you need dative:

Nominative: der Bauernhof
Dative: dem Bauernhof

So: auf dem Bauernhof = on/at the farm.
den Bauernhof would be accusative (e.g. Ich sehe den Bauernhof – I see the farm), which doesn’t fit here.

Why does the sentence start with Auf dem Bauernhof instead of with the subject Eine junge Bäuerin?

German main clauses follow the verb-second (V2) rule:

The finite verb (here: arbeitet) must be in the second position.
The first position can be almost anything: subject, time phrase, place phrase, object, etc.

Both of these are correct:

Eine junge Bäuerin arbeitet auf dem Bauernhof mit vielen Tieren. (subject in first position)
Auf dem Bauernhof arbeitet eine junge Bäuerin mit vielen Tieren. (place phrase in first position)

The difference is mainly emphasis:

Starting with Eine junge Bäuerin… emphasizes who is working.
Starting with Auf dem Bauernhof… emphasizes where this happens.

Could I also say Eine junge Bäuerin arbeitet auf dem Bauernhof mit vielen Tieren? Does the meaning change?

Yes, that word order is perfectly correct:

Eine junge Bäuerin arbeitet auf dem Bauernhof mit vielen Tieren.

The basic meaning is the same. The change is in focus:

Eine junge Bäuerin arbeitet… → neutral / focus on the young farmer.
Auf dem Bauernhof arbeitet… → focus on the farm as the setting.

German allows fairly flexible word order before the verb cluster; moving phrases around shifts emphasis but usually doesn’t change the core meaning.

What is the difference between Bauer and Bäuerin?

der Bauer = a (male) farmer
die Bäuerin = a female farmer

So Bäuerin is the feminine form of Bauer. Note:

The vowel changes: au → äu (Bauer → Bäuerin).
Common related forms:
- Plural: die Bauern (farmers, mixed or all male)
- Plural: die Bäuerinnen (female farmers)

Why is it eine junge Bäuerin and not die junge Bäuerin?

eine = an / a (indefinite article)
die = the (definite article, feminine singular)

The sentence introduces some young female farmer, not a specific one that both speaker and listener already know. In English you also say:

A young farmer works on the farm with many animals.

So German uses the indefinite article: eine junge Bäuerin.
If you meant a specific person both know, you would say:

Auf dem Bauernhof arbeitet die junge Bäuerin mit vielen Tieren.
(The young farmer works on the farm with many animals.)

Why is it eine junge Bäuerin (with junge, not jungen or junger)?

This is about adjective endings:

Noun: die Bäuerin (feminine)
Case: nominative (it’s the subject)
Article: eine (indefinite)

Pattern:
nominative feminine singular + indefinite article → adjective ends in -e

So you get:

eine junge Bäuerin

Compare:

die junge Bäuerin (definite article, same -e ending here)
eine junge Frau (a young woman)
die junge Frau (the young woman)

Why does mit vielen Tieren use vielen, not viele?

Two points:

mit always takes the dative case.
Tiere is plural.

For viele (many), the dative plural ending is -en:

Nominative/accusative plural: viele Tiere (many animals)
Dative plural: mit vielen Tieren (with many animals)

So mit vielen Tieren is:
preposition mit + dative plural adjective vielen + dative plural noun Tieren.

Why is it Tieren and not Tiere after mit?

Again, because of the dative plural:

Basic form: die Tiere (nominative/accusative plural)
Dative plural: den Tieren

Most German nouns add -n in the dative plural (if they don’t already end in -n/-s).
Examples:

mit den Kindern
mit den Freunden
mit den Katzen
mit den Tieren

So mit vielen Tieren matches the pattern mit + dative plural.

Why doesn’t Tieren have an article here (like den Tieren or vielen der Tiere)?

German often omits the article with indefinite plurals, similar to English:

English: with many animals (no the/my/some)
German: mit vielen Tieren

If you wanted to make it definite, you could say:

mit vielen der Tiere = with many of the animals
mit den vielen Tieren = with the many animals (we already know which ones)

Why is Bäuerin capitalized but junge not capitalized?

In German:

All nouns are capitalized: Bäuerin, Bauernhof, Tiere
Adjectives are normally lowercase: junge, vielen

So:

eine junge Bäuerin → adjective junge (lowercase), noun Bäuerin (capitalized)
vielen Tieren → adjective vielen (lowercase), noun Tieren (capitalized)

What case is eine junge Bäuerin in, and how can I tell?

eine junge Bäuerin is in the nominative case, because it is the subject of the sentence:

Wer / was arbeitet? (Who / what is working?)
→ eine junge Bäuerin

Clues:

The verb arbeiten needs a subject → that’s nominative.
Feminine nominative singular with eine uses the ending -e on the adjective: eine jungE Bäuerin.

Is Auf dem Bauernhof closer to “on the farm” or “at the farm” in English?

Literally it’s “on the farm”, but in natural English you could say either:

On the farm, a young farmer works with many animals.
At the farm, a young farmer works with many animals.

German auf dem Bauernhof covers both ideas; English chooses the preposition more by style and idiom. In most contexts, “on the farm” sounds most natural.