Learn Hardcore German: Ich habe wenig Zeit, aber etwas Wichtiges zu erledigen. - I have little time, but something important to take care of.

Yes. In German, a comma is placed before adversative coordinating conjunctions like aber, sondern, doch, jedoch. This applies whether they connect full clauses or just parts of a clause. So the comma in Ich habe wenig Zeit, aber … is required here.

Is the second half missing a verb? Should it be …, aber ich habe etwas Wichtiges zu erledigen?

The given sentence uses ellipsis (gapping): the repeated ich habe is understood. Both versions are correct:

Elliptical: Ich habe wenig Zeit, aber etwas Wichtiges zu erledigen.
Full: Ich habe wenig Zeit, aber ich habe etwas Wichtiges zu erledigen. The full version is a bit more explicit; the elliptical one is perfectly idiomatic.

Why is Wichtiges capitalized and why does it end in -es?

Capitalization: Wichtiges is a nominalized adjective (standing in for a noun) after the pronoun etwas, so it’s capitalized.
Ending: After etwas, nominalized adjectives take strong declension and are neuter singular. In the nominative/accusative that yields -es: etwas Gutes / nichts Neues / viel Interessantes / wenig Spannendes.

What case are Zeit and etwas Wichtiges?

Both are accusative direct objects of haben:

Ich habe wenig Zeit → Zeit (feminine singular accusative, same form as nominative).
Ich habe etwas Wichtiges (zu erledigen) → etwas Wichtiges (neuter singular accusative; the -es shows strong declension).

Why is it wenig Zeit and not wenige Zeit?

Zeit is an uncountable (mass) noun. With mass nouns, German uses wenig (no ending): wenig Zeit, wenig Geld, wenig Geduld. Wenige is used with countable plurals: wenige Minuten, wenige Tage.

Can I say Ich habe kaum Zeit or Ich habe nicht viel Zeit instead? What’s the nuance?

wenig Zeit = little time (matter-of-fact).
kaum Zeit = hardly any time (stronger, near zero).
nicht viel Zeit = not much time (slightly softer than wenig).
ein bisschen Zeit = a little (positive slant).
All are idiomatic; choose based on how strong you want the shortage to sound.

What exactly does zu erledigen do here?

It’s a zu-infinitive phrase modifying etwas Wichtiges, essentially a reduced relative clause:

etwas Wichtiges zu erledigen ≈ etwas Wichtiges, das erledigt werden muss or etwas Wichtiges, das ich erledigen muss.
It expresses a task that needs doing.

Could I use zu tun or zu machen instead of zu erledigen?

etwas Wichtiges zu tun is very common and neutral.
etwas Wichtiges zu erledigen emphasizes a specific task/errand to be taken care of (more task-oriented).
etwas Wichtiges zu machen is possible but less idiomatic here than zu tun or zu erledigen.

Why aber and not sondern?

sondern is used after a negation to mean but rather/ instead:

Nicht ich, sondern du hast Zeit.
Here there’s no negation in the first part, so aber (but/however) is the correct choice.

Does aber change word order?

No. As a coordinating conjunction, aber doesn’t affect verb position. The second clause remains verb-second:

…, aber ich habe etwas Wichtiges zu erledigen.
(In the given sentence, the second verb is omitted by ellipsis, which is also fine.)

Can I start a new sentence with Aber?

Yes. It’s acceptable in modern German, especially in speech and informal writing:

Ich habe wenig Zeit. Aber ich habe etwas Wichtiges zu erledigen.
Combining into one sentence with a comma is often smoother in formal prose.

Why is zu placed before erledigen? How would it work with separable-prefix verbs?

In a zu-infinitive, zu goes directly before the infinitive: zu erledigen.
With separable-prefix verbs, zu is inserted between prefix and stem: aufzuräumen, weiterzumachen.

Why is the adjective treated as neuter after etwas? What if the “thing” is actually feminine (like Aufgabe)?

Grammatically, etwas is a neuter indefinite pronoun, so the following nominalized adjective agrees with neuter, not with a real-world noun you might have in mind. Hence: etwas Wichtiges (neuter). If you name the noun, agreement changes: eine wichtige Aufgabe (feminine).

Is the capitalization of Wichtiges because it’s after a comma?

No. It’s capitalized because it’s a nominalized adjective. Commas don’t affect capitalization in German (except at the start of a new sentence).

Could I add noch to stress that the task is still pending?

Yes, very idiomatic:

Ich habe wenig Zeit, aber noch etwas Wichtiges zu erledigen.
Full version: …, aber ich habe noch etwas Wichtiges zu erledigen.

Is there a version with a clearer necessity/obligation meaning?

You can use a modal or the formal “haben + zu” construction:

Ich habe wenig Zeit, aber ich muss noch etwas Wichtiges erledigen.
Formal/literary: Ich habe wenig Zeit, aber ich habe noch etwas Wichtiges zu erledigen.

Are there similar patterns with other quantifiers?

Yes, the adjective is capitalized and strongly declined after pronouns like etwas, nichts, viel, wenig:

etwas Neues, nichts Gutes, viel Interessantes, wenig Spannendes.
In the dative, the ending changes: mit etwas Wichtigem, von nichts Neuem.

Is Ich habe wenig Zeit, aber habe etwas Wichtiges zu erledigen correct?

That mix is odd because you kept the finite verb habe but dropped the subject ich. In standard style, either use the full clause (…, aber ich habe …) or the fully elliptical version (…, aber etwas Wichtiges …). Mixing them is less natural.

Is the given sentence idiomatic as-is?

Yes. It’s natural and concise. Slightly more explicit variants are also common:

Ich habe wenig Zeit, aber ich habe etwas Wichtiges zu erledigen.
Ich habe wenig Zeit, aber noch etwas Wichtiges zu erledigen.