Learn Hardcore Dutch: Dat vertrouwen groeit elke keer dat we samen werken aan een project. - That trust grows every time we work together on a project.

The first Dat is a demonstrative pronoun meaning “that” (pointing to a specific piece of trust in context).
The second dat is a subordinating conjunction introducing the dependent clause “we samen werken aan een project” (meaning “that”).

What does Dat vertrouwen mean, and why isn’t there an article like het?

Dat vertrouwen literally means “that trust.”
Instead of the definite article het, Dutch allows a demonstrative pronoun (dat) to point out a particular instance of an abstract noun.
You could also say Het vertrouwen groeit… (“The trust grows…”), but Dat vertrouwen emphasizes a specific trust already mentioned or understood.

What does elke keer dat mean?

Elke keer dat is a fixed expression translating to “every time that” or “whenever.”

elke keer = “each time”
dat = “that” (introduces the clause describing when)

Why is the verb werken at the end of the clause dat we samen werken aan een project?

In Dutch subordinate clauses introduced by a conjunction like dat, the finite verb moves to the end. The structure is:
subject (we) – adverb (samen) – verb (werken) – prepositional object (aan een project).
You cannot say dat we werken samen aan een project because the verb must come last in a dat-clause.

Could I start the sentence with Elke keer dat we samen werken aan een project, and if so, what changes?

Yes. When you front the time clause, you trigger the Dutch V2 (verb-second) rule in the main clause. You get:
Elke keer dat we samen werken aan een project, groeit dat vertrouwen.
Notice how groeit now follows immediately after the comma as the second element.

Why do we use we instead of wij for “we”?

we is the unstressed, more conversational form of wij.
Both are correct; we is far more common in speech and informal writing.
Use wij when you want to add emphasis (e.g. Wij groeien in ons vertrouwen).

Could I replace samen werken aan een project with samen doen een project or samen maken een project?

No. Dutch collocates werken with aan for projects: werken aan een project (“to work on a project”).

You can say een project uitvoeren (“carry out a project”) or een project opzetten (“set up a project”), but doen or maken are not used that way here.

Why do we use groeit (grows) for trust? Could we use stijgt (rises)?

In Dutch, intangible qualities like trust, confidence or reputation typically groeien (“grow”).
Stijgen (“rise”) is reserved for measurable quantities (temperatures, prices, levels). Hence, vertrouwen groeit is the natural choice.