Learn Hardcore Polish: Oni nie znają powodu, ale potrafią umówić się na nowy termin bez problemu. - They don’t know the reason, but they can make a new appointment without a problem.

Because of the “genitive of negation.” The verb znać normally takes the accusative (e.g., znają powód), but when you negate it (nie znają), the direct object typically switches to the genitive: nie znają powodu. More examples:

Znam odpowiedź → Nie znam odpowiedzi
Mamy czas → Nie mamy czasu

Why not use wiedzą here? Can I say Nie wiedzą powodu?

No. Wiedzieć doesn’t take a bare noun as its object. Use:

znać + noun: Nie znają powodu (They don’t know the reason).
wiedzieć + clause: Nie wiedzą, jaki jest powód / Nie wiedzą, dlaczego (They don’t know what the reason is / why).

What’s the nuance between potrafią, mogą, and umieją?

potrafią = they are capable/able to do it (in a given situation or generally), often with a sense of managing to do it.
mogą = they can/are allowed/it’s possible (permission or possibility).
umieją = they know how (a learned skill). Here, potrafią umówić się implies they are able to arrange it successfully.

Is potrafią umówić się the best word order for się? What about potrafią się umówić?

Both are acceptable. Many speakers slightly prefer placing się earlier with a modal/phase verb: potrafią się umówić. Your sentence potrafią umówić się is still idiomatic and correct.

Why the perfective umówić się and not the imperfective umawiać się?

umówić się (perfective) focuses on a single, completed act of arranging an appointment (successfully setting it).
umawiać się (imperfective) suggests an ongoing/habitual process. With potrafią, perfective highlights that they can manage to get it arranged; potrafią umawiać się would sound like a general skill of arranging (habitually).

Why is it na nowy termin and not na nowego termin?

Because na here governs the accusative, and termin is masculine inanimate, whose accusative equals the nominative. So:

nominative/accusative: nowy termin
genitive: nowego terminu (used after bez, do, etc., not after na in this meaning).

Does na always take the accusative?

No. It depends on meaning:

na + accusative for direction/goal or purpose: umówić się na termin (for an appointment).
na + locative for location: na terminie is rare; you’d more naturally say w tym terminie (in that time slot).

What exactly does termin mean here? Could I use data, spotkanie, or wizyta?

termin = a time slot/deadline/appointment window; here: a new appointment time.
data = a calendar date.
spotkanie = a meeting.
wizyta = a visit/appointment (esp. doctor, salon). Alternatives:
umówić się na nowy termin (neutral)
umówić się na nowe spotkanie (meeting)
umówić się na nową wizytę (doctor/salon)
ustalić/przełożyć termin (set/reschedule a date).

Do I have to keep Oni? Can I drop it?

You can drop it. Polish is pro‑drop, so Nie znają powodu, ale potrafią (się) umówić… is perfectly natural. Keeping Oni adds emphasis or clarifies who “they” are (especially if gender matters).

When do I use Oni vs One?

Oni = groups including at least one male, or mixed-gender human groups (masculine personal).
One = all-female groups or non‑masculine‑personal plural (things, animals, mixed inanimate). So for a mixed group of people: Oni; for all women: One.

Why bez problemu? Is bez problemów also correct?

Both are correct. bez governs the genitive:

singular: bez problemu (very common, idiomatic “no problem”)
plural: bez problemów Meaning is the same; style preference varies. You can also say bez żadnego problemu for emphasis.

Is the comma before ale obligatory?

Yes. In Polish, you place a comma before ale when it connects two clauses: …, ale …

Do I need to say who they’re arranging with, like z kimś?

Not required, but you can add it for clarity:

umówić się z lekarzem na nowy termin
umówić się z klientem na nowy termin Pattern: umówić się z [person] na [something].

Can I say umówić termin instead of umówić się na termin?

Not in this meaning. Use:

umówić się na termin (arrange an appointment for oneself/with someone)
ustalić termin (set/fix a date)
zarezerwować termin (reserve a time slot)
For arranging for someone else: umówić kogoś na wizytę (book someone an appointment).

Could I replace ale with lecz?

Yes, but lecz is more formal/literary and is most natural in corrections after negation (nie …, lecz …). Here ale is the default choice.