אחרי הארוחה ניקיתי את המטבח, כי הוא היה מלוכלך.

After the meal I cleaned the kitchen, because it was dirty.

Breakdown of אחרי הארוחה ניקיתי את המטבח, כי הוא היה מלוכלך.

• את: direct object marker
• כי: because
• אחרי: after
• להיות: to be

Questions & Answers about אחרי הארוחה ניקיתי את המטבח, כי הוא היה מלוכלך.

Why is ניקיתי enough to mean I cleaned without a separate word for I?

In Hebrew past tense, the verb itself usually tells you who did the action.

• ניקיתי = I cleaned
• The ending ־תי often marks I in the past tense.

So Hebrew does not need a separate subject pronoun here. You could add אני for emphasis, but normally it is unnecessary:

• אני ניקיתי את המטבח = I cleaned the kitchen
  This sounds more emphatic, like I cleaned it.

In the sentence you gave, ניקיתי already clearly means I cleaned.

What does אחרי mean, and how does it work in אחרי הארוחה?

אחרי means after.

In אחרי הארוחה:

• אחרי = after
• הארוחה = the meal

So together: after the meal

Hebrew commonly uses אחרי + noun this way, with no extra word like English of or anything similar.

Examples:

• אחרי השיעור = after the lesson
• אחרי העבודה = after work
• אחרי הארוחה = after the meal

Why is it הארוחה and not just ?