Στην κουζίνα υπήρχε διαρροή κάτω από τη βρύση, και ο υδραυλικός την έφτιαξε σε δέκα λεπτά.

and

Breakdown of Στην κουζίνα υπήρχε διαρροή κάτω από τη βρύση, και ο υδραυλικός την έφτιαξε σε δέκα λεπτά.

• το λεπτό: the minute
• κάτω από: under
• σε: in

Questions & Answers about Στην κουζίνα υπήρχε διαρροή κάτω από τη βρύση, και ο υδραυλικός την έφτιαξε σε δέκα λεπτά.

Why does Στην κουζίνα start with Στην instead of σε την?

Στην is the contracted form of σε + την (in/to the, feminine singular). Greek very commonly contracts:

• σε + την → στην
• σε + τον → στον
• σε + το → στο

So Στην κουζίνα = In the kitchen.

What case is κουζίνα in here, and why?

κουζίνα is in the accusative because it follows the preposition σε (in/into/at), which takes the accusative.
So: σε/στην + accusative = location (in the kitchen).

Why is it υπήρχε and not a form of είμαι (like ήταν)?

υπήρχε is from υπάρχω (to exist / there is). Greek often uses υπάρχω to express there was/there were:

• υπήρχε διαρροή = there was a leak

Using ήταν would sound more like it was a leak (identifying something), not introducing the existence of something.