Learn Hardcore Greek: Ο καφές στο σπίτι είναι καλύτερος από του γραφείου. - The coffee at home is better than at the office.

του γραφείου is genitive because it depends on the implied noun (καφέ) and means “of the office.”
So από still compares “coffee to coffee”; it’s just that the second “coffee” is left out.

So would από το γραφείο be wrong here?

Yes, it would be misunderstood as “from the office” (a place), not “than the office’s coffee.”
For the comparison you want either:

από τον καφέ του γραφείου (fully explicit), or
the elliptical, natural από του γραφείου (with the noun understood).

How can I say it without any ellipsis?

Three clear options:

Ο καφές στο σπίτι είναι καλύτερος από τον καφέ του γραφείου.
Ο καφές στο σπίτι είναι καλύτερος από αυτόν του γραφείου. (using a pronoun)
Ο καφές στο σπίτι είναι καλύτερος απ’ ό,τι στο γραφείο. (“than what [it is] at the office”)

What does απ’ ό,τι mean, and how do I write it correctly?

It means “than what (…)" in comparisons. The correct form is απ’ ό,τι (with apostrophe and accent on ό).
Example: Είναι καλύτερος απ’ ό,τι νομίζεις. = “It’s better than you think.”

What case is each part in?

Ο καφές: nominative (subject).
στο σπίτι: accusative after the preposition σε (here contracted to στο).
καλύτερος: nominative masculine singular, agreeing with καφές.
από (τον καφέ) του γραφείου: the compared term is accusative (implied τον καφέ); του γραφείου is genitive, dependent on the omitted noun.

Why καλύτερος and not πιο καλός?

καλύτερος is the irregular, standard comparative of καλός (“good → better”).
πιο καλός is heard in speech and is not wrong, but καλύτερος sounds more natural and is preferred in careful Greek.

Why does καλύτερος end in -ος?

Adjectives agree with the noun in gender, number, and case. καφές is masculine singular nominative, so the adjective is καλύτερος.
Other forms: καλύτερη (fem.), καλύτερο (neut.).
Example: Η μηχανή είναι καλύτερη. Το τσάι είναι καλύτερο.

Why does Greek use the article: Ο καφές? In English we’d just say “Coffee at home…”

Greek often uses the definite article with generic or category statements (especially in subject position). Ο καφές here means “the coffee (as a category) at home.” Omitting the article would sound off in this sentence.

What exactly is στο?

στο is the contraction of σε + το (“at/in + the”).
Other contractions:

στον = σε + τον (masc.)
στη(ν) = σε + τη(ν) (fem.)
στους/στις/στα for plurals.

Is there a difference between στο σπίτι and just σπίτι?

Yes:

στο σπίτι = “at the house/home” (more literal/location).
Bare σπίτι can be adverbial: Είμαι σπίτι = “I’m at home.”
In your sentence, στο σπίτι is natural because it parallels (στο) γραφείο.

Does this sentence imply “my home” and “my office”? How do I say that explicitly?

Context often implies the speaker’s home/office. To be explicit:

στο σπίτι μου = “at my home”
του γραφείου μου = “of my office”
Full version: Ο καφές στο σπίτι μου είναι καλύτερος από τον καφέ του γραφείου μου.

Can I move parts around for emphasis?

Yes. Greek word order is flexible. For example:

Στο σπίτι ο καφές είναι καλύτερος από του γραφείου. (fronts “at home” for contrast)
Ο καφές είναι καλύτερος στο σπίτι απ’ ό,τι στο γραφείο. (focuses on where it’s better)

Can I use παρά instead of από in comparisons?

Often, yes—especially with choices or with clauses/pronouns, and very naturally with the adverbial comparative:

Καλύτερα στο σπίτι παρά στο γραφείο.
With adjectives, από is the default: καλύτερος από… (You’ll also hear καλύτερος παρά…, but από is more common here.)

How do these nouns decline here? I’m unsure about γραφείο → γραφείου.

το γραφείο (nom./acc. sg.) → του γραφείου (gen. sg.)
ο καφές (nom. sg.) → του καφέ (gen. sg.)
So the full, explicit comparison would be: από τον καφέ του γραφείου.