Learn Hardcore German: Wir brauchen nur ein Streichholz, weil das Holz trocken ist und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde. - We need only one match because the wood is dry and the equipment has been well prepared.

In German, small adverbs like nur (only, just) are fairly flexible in position, but Wir brauchen nur ein Streichholz is the most natural word order when nur limits the object (ein Streichholz).

Wir brauchen nur ein Streichholz.
→ nur clearly modifies ein Streichholz: We need only one match (and not more).

If you move nur:

Wir nur brauchen ein Streichholz.
→ Sounds wrong/unnatural. The finite verb (brauchen) should stay in position 2.
Wir brauchen ein Streichholz nur, weil das Holz trocken ist …
→ Here nur would modify the whole reason clause (we need a match only because the wood is dry…), which is a different meaning.

So with the intended meaning only one match, nur is placed right before the phrase it restricts: ein Streichholz.

Why is it ein Streichholz and not einem Streichholz or something else?

German brauchen works like English to need and takes a direct object in the accusative case.

Wer? – Wir (subject, nominative)
Brauchen – verb
Wen oder was brauchen wir? – ein Streichholz (direct object, accusative)

For a neuter noun like das Streichholz, nominative and accusative singular look the same:

Nominative: das Streichholz – ein Streichholz
Accusative: das Streichholz – ein Streichholz

So ein Streichholz is accusative (object of brauchen), even though it looks like nominative.
Einem Streichholz would be dative, which you’d use with verbs or prepositions that require the dative, e.g.:

Mit einem Streichholz können wir das Feuer anzünden. (With a match…) – dative after mit.

Here, brauchen → accusative → ein Streichholz.

How does the word order change after weil? Why do we say weil das Holz trocken ist and not weil das Holz ist trocken?

Weil is a subordinating conjunction. In German, these send the finite verb (the conjugated verb) to the end of the clause.

Main clause word order:
Das Holz ist trocken. → verb in position 2.
Subordinate clause with weil:
…, weil das Holz trocken ist. → verb (ist) at the end.

So the structure is:

weil
- subject
  - predicate/complements
    - finite verb

In your full sentence:

weil das Holz trocken ist
- weil – conjunction
- das Holz – subject
- trocken – predicative adjective
- ist – finite verb at the end

The same rule applies to the second part of the weil-clause:

und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde
- die Ausrüstung – subject
- gut vorbereitet – predicate
- wurde – finite verb at the end

So weil automatically triggers verb-final word order in its clause.

Why are there two different verbs at the end: ist in one part and wurde in the other?

The weil-clause actually contains two coordinated subordinate clauses joined by und:

weil das Holz trocken ist
- Verb: ist (present tense of sein)
- Describes a state of the wood: it is dry.
(weil) die Ausrüstung gut vorbereitet wurde
- Verb: wurde (preterite of werden, used for the passive)
- Describes a past action/process: the equipment was prepared (by someone).

They share the same weil, but each has its own verb at the end:

weil [das Holz trocken ist] und [die Ausrüstung gut vorbereitet wurde].

You cannot push both verbs to the very end of the whole thing, like:
…weil das Holz trocken und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde ist – that’s incorrect.
Each clause before and after und must have its own correctly placed verb.

Why is it gut vorbereitet wurde and not wurde gut vorbereitet?

In a main clause, the finite verb is in position 2, and other parts usually follow:

Main clause: Die Ausrüstung wurde gut vorbereitet.
- wurde (finite verb) in position 2
- gut vorbereitet comes after it

In a subordinate clause (here, after weil), the finite verb moves to the end, and the past participle stays directly before it:

Subordinate clause: …, weil die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.
- gut vorbereitet – past participle with adverb
- wurde – finite verb at the very end

German cluster order at the end of subordinate clauses with passive is generally:

[other stuff] + Participle (vorbereitet) + Auxiliary verb (wurde)

So:

Correct: …weil die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.
Wrong: …weil die Ausrüstung wurde gut vorbereitet. (main-clause order inside a subordinate clause)

What exactly does wurde vorbereitet mean, and how is it different from ist vorbereitet or hat vorbereitet?

Wurde vorbereitet is:

preterite passive (Vorgangspassiv):
werden (preterite) + past participle → wurde vorbereitet

Meaning: was (being) prepared, focusing on the action/process.

Compare:

Die Ausrüstung wurde gut vorbereitet.
- Process: Somebody prepared the equipment well.
- Passive, past action.
Die Ausrüstung ist gut vorbereitet.
- Zustandspassiv (state passive) with sein.
- Focuses on the resulting state: The equipment is in a well-prepared state.
Jemand hat die Ausrüstung gut vorbereitet.
- Active perfect: Someone has prepared the equipment well.
- Emphasizes who did it (subject jemand).

In your sentence:

…weil … die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.
→ Emphasizes that the preparation work was (successfully) carried out before, not just that the equipment happens to be in a prepared state. Both wurde vorbereitet and ist vorbereitet could be plausible depending on nuance, but grammatically both are fine:
…weil die Ausrüstung gut vorbereitet wurde. – the act of preparing was done well.
…weil die Ausrüstung gut vorbereitet ist. – the equipment is now in a prepared state.

What cases are das Holz and die Ausrüstung in, and why?

Inside the weil-clause, both das Holz and die Ausrüstung are subjects, so they’re in the nominative case.

…, weil das Holz trocken ist …
- das Holz – subject → nominative
- trocken – predicate adjective
- ist – verb
…, und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.
- die Ausrüstung – subject of a passive clause → still nominative
- gut vorbereitet – predicate (participle phrase)
- wurde – passive auxiliary

Even in passive sentences, the thing that is being acted on usually becomes the subject in the nominative:

Active: Jemand hat die Ausrüstung gut vorbereitet.
- die Ausrüstung – accusative object
Passive: Die Ausrüstung wurde gut vorbereitet.
- die Ausrüstung – nominative subject

So both das Holz and die Ausrüstung are nominative subjects in their respective clauses.

Why is Ausrüstung used with die? Is there a rule for that gender?

Die Ausrüstung is feminine. The article die here is singular feminine, not plural.

A strong hint is the -ung ending:

Nouns ending in -ung are almost always feminine in German:
- die Zeitung, die Wohnung, die Bewegung, die Ausbildung, die Ausrüstung, etc.

So:

Singular: die Ausrüstung
Plural: die Ausrüstungen

In your sentence, it’s singular:

die Ausrüstung – the equipment (as a collective noun, like English equipment, which is usually uncountable).

Why is there a comma before weil?

German always uses a comma to separate a main clause from a subordinate clause, and weil always introduces a subordinate clause.

Main clause: Wir brauchen nur ein Streichholz
Subordinate clause: weil das Holz trocken ist und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.

Rule:
Main clause , subordinating conjunction + subordinate clause

So you must write:

Wir brauchen nur ein Streichholz, weil das Holz trocken ist und die Ausrüstung gut vorbereitet wurde.

Leaving out the comma here is considered a spelling/grammar mistake in standard written German.

Could you say Wir müssen nur ein Streichholz benutzen instead of Wir brauchen nur ein Streichholz? What’s the difference?

You can say both, but they have different nuances.

Wir brauchen nur ein Streichholz.
- Literally: We need only one match.
- Focus: quantity/requirement. Very direct and natural.
Wir müssen nur ein Streichholz benutzen.
- Literally: We only have to use one match.
- Focus: necessity/obligation, more on the action of using it.

Also, you could say:

Wir benötigen nur ein Streichholz.
- benötigen is a bit more formal, like to require.

All are grammatically correct; brauchen is the most neutral, everyday choice for need here.

What does Streichholz literally mean, and what is its plural?

Streichholz is a compound noun:

streichen – to rub, to stroke
das Holz – wood

Literally: rubbing wood → a match (a small wooden stick you light by rubbing).

Gender and forms:

Singular:
- das Streichholz – the match
- ein Streichholz
Plural:
- die Streichhölzer

Notice the vowel change and ending in the plural:

das Streichholz → die Streichhölzer.