Learn Hardcore German: Ich schaue später online nach, ob die Bibliothek geöffnet ist. - I will check online later whether the library is open.

Yes. nachschauen (to check/look up) is a separable verb, so in a main clause it splits: finite verb in position 2, the separable particle at the end.

Infinitive: nachschauen
Main clause (present): Ich schaue online nach.
With zu-infinitive: …, online nachzuschauen.
Perfect: Ich habe online nachgeschaut.
Subordinate clause: …, dass ich später online nachschaue. Here nach is not the preposition meaning after; it’s the separable prefix of the verb.

Why is there a comma before ob?

Because ob introduces a subordinate clause. Subordinate clauses are set off by commas in German. So the comma is mandatory before ob.

Why does ist go to the end in ob die Bibliothek geöffnet ist?

In subordinate clauses, the conjugated verb goes to the end (verb-final). That’s why it’s … geöffnet ist. This applies to all subordinators (e.g., dass, weil, wenn, ob): …, ob er zu Hause ist.

Can I say … ob die Bibliothek ist geöffnet?

No. With the copula sein, the predicative adjective/noun comes before sein in subordinate clauses: …, ob die Bibliothek geöffnet ist. In a main clause you can say Die Bibliothek ist geöffnet.

When do I use ob vs wenn vs falls?

ob = whether/if in indirect yes/no questions: Ich weiß nicht, ob sie offen ist.
wenn = when(ever) or if (conditional): Wenn sie offen ist, gehe ich hin.
falls = in case (more cautious/conditional): Falls sie offen ist, gehe ich hin. You can’t replace ob with wenn/falls in this sentence.

Could I also say …, ob die Bibliothek geöffnet hat?

Yes. … geöffnet hat is also idiomatic: Ich schaue nach, ob die Bibliothek geöffnet hat. It focuses on business hours (having opening hours). … geöffnet ist states the open/closed state. Both are fine in everyday German.

What’s the difference between geöffnet and offen?

Both can mean open.

geöffnet is the standard word for businesses/hours: Die Bibliothek ist geöffnet.
offen is broader (doors, windows, attitudes) and also used for businesses in speech: Die Bibliothek ist offen. Colloquially you’ll also hear hat auf / ist auf, but that’s informal.

Why not use suchen here? What’s the nuance?

suchen means to search for something (an item/info): Ich suche online nach der Telefonnummer. nachschauen / nachsehen mean to check/verify/look up: Ich schaue online nach, ob sie geöffnet ist. To express checking a status, use nachschauen/nachsehen/prüfen rather than suchen.

Where should später and online go? Is Ich schaue online später nach okay?

Preferred adverb order is time–manner–place. später (time) before online (manner) fits nicely:

Natural: Ich schaue später online nach, …
Also fine: Ich schaue später im Internet nach, …
Ich schaue online später nach is possible but sounds odd. You can insert softener mal: Ich schaue später mal online nach.

Is online capitalized in German?

No. online is written in lower case as an adverb/adjective, except at the beginning of a sentence.

Why die Bibliothek? What’s the gender and plural?

Bibliothek is feminine: die Bibliothek. Indefinite: eine Bibliothek. Plural: die Bibliotheken. A common everyday synonym is die Bücherei (often for local lending libraries).

Are there common alternatives to schaue?

Yes:

nachsehen (very common): Ich sehe später online nach, …
gucken (colloquial, esp. in the North): Ich gucke später online nach, …
prüfen (more formal): Ich prüfe später online, …
checken (colloquial/anglicism): Ich checke später online, … You’ll also see ich schau (dropping the final -e) in colloquial speech/writing.

Can I drop nach and say Ich schaue später online, ob …?

Yes. schauen, ob … = “to see whether …” is idiomatic. However, with the idea of “looking something up,” nachschauen/nachsehen collocates especially well with online/im Internet. Both versions are acceptable; nachschauen/nachsehen is a bit more specific.

How would I make this more formal?

Use a more neutral verb and (optionally) future tense:

Ich werde später online prüfen, ob die Bibliothek geöffnet ist.
Ich informiere mich später online, ob die Bibliothek geöffnet ist.

Do I need future tense (werde) here?

No. German often uses the present with a time adverbial for the future: Ich schaue später … is perfectly natural. Ich werde später … is also correct but not required.

Any quick pronunciation tips?

schaue [ˈʃaʊ̯.ə] (two syllables)
später [ˈʃpɛːtɐ] (long ä)
online [ˈɔnlaɪ̯n]
Bibliothek [bɪbli̯oˈteːk] (stress on the last syllable)
geöffnet [ɡəˈʔœf.nət] (glottal stop before ö; ö like French eu)
ob [ɔp] (final b devoiced to p)
ist [ɪst]