Learn Hardcore German: Deine Schwester zeigt auch Mut.

It’s accusative singular, the direct object of zeigt. With abstract mass nouns like Mut, German often omits the article in generic statements. You can quantify or qualify it: viel Mut, großen Mut.

Can I say den Mut here?

Yes, when you specify a particular kind of courage, typically with a clause: … zeigt auch den Mut, ihre Meinung zu sagen. Otherwise, bare Mut is more idiomatic. Also common: den Mut haben, …

Why is it zeigt and not zeigen?

Because the subject Deine Schwester is third-person singular. Quick present-tense forms of zeigen:

ich zeige
du zeigst
er/sie/es zeigt
wir zeigen
ihr zeigt
sie zeigen

Is zeigen the best verb? What about beweisen or haben?

Mut zeigen is the standard collocation (to display courage through actions).
Mut beweisen is also idiomatic, a bit stronger/formal.
Mut haben emphasizes possession: Sie hat Mut.
Avoid zeigt an: anzeigen means to report/press charges or to indicate.

What does auch modify here, and why is it placed before Mut?

Auch normally precedes what it scopes over. In … zeigt auch Mut, it adds “too/as well” to the predicate “show courage” (e.g., in addition to showing patience). If you mean “your sister too (as well as others),” front it: Auch deine Schwester zeigt Mut. Final … Mut auch is generally unidiomatic.

How would emphasis change with different positions of auch?

Deine Schwester zeigt auch Mut. = She shows courage too (besides other qualities).
Auch deine Schwester zeigt Mut. = Your sister too shows courage (besides other people).
Deine Schwester zeigt auch großen Mut. = auch still scopes over the object plus its adjective.

Why deine and not dein/deiner/deinem?

Schwester is feminine singular and the subject (nominative). Possessives decline like the indefinite article; feminine nominative takes -e: deine Schwester. Mini pattern:

Nom.: dein Bruder, deine Schwester, dein Kind, deine Freunde
Acc.: deinen Bruder, deine Schwester, dein Kind, deine Freunde
Dat.: deinem Bruder, deiner Schwester, deinem Kind, deinen Freunden
Gen.: deines Bruders, deiner Schwester, deines Kindes, deiner Freunde

Do I need an article with a possessive, like die deine Schwester?

No. Possessive determiners already make the noun definite. Use deine Schwester without an article (except in rare stylistic emphases).

What are the formal/plural forms of “your”?

Informal singular: deine Schwester
Informal plural: eure Schwester
Formal (singular or plural): Ihre Schwester

Why are Schwester and Mut capitalized?

All nouns are capitalized in German. Determiners and adverbs (deine, auch) are not, unless they begin the sentence.

What rule puts the verb in second position?

German main clauses are verb-second (V2). The entire subject phrase Deine Schwester occupies the first slot; the finite verb zeigt must come next. If you front something else, the subject follows the verb: Auch heute zeigt deine Schwester Mut.

How would the sentence change with a plural subject?

Use plural subject and verb:

Deine Schwestern zeigen auch Mut. Mut remains singular (it’s an uncountable abstract noun).

Pronunciation tips for the whole sentence?

Deine ≈ DAI-nuh (ei like English eye)
Schwester ≈ SHVEH-stər (sch = sh, w = v)
zeigt ≈ tsai̯kt (z = ts, ei like eye)
auch ≈ owkh (final ch like Scottish loch)
Mut ≈ moot (long u)

Difference between Mut zeigen and mutig sein?

mutig sein describes a quality (to be brave); Mut zeigen highlights observable behavior in a situation (to show courage). Same idea, different focus.

Where can I add time/place adverbs, and where does auch go then?

Adverbs typically follow time–manner–place. Auch stays right before what it modifies:

Deine Schwester zeigt heute auch Mut.
Auch heute zeigt deine Schwester Mut.
Deine Schwester zeigt auch in der Krise Mut.

Useful collocations with Mut?

Mut fassen (take heart)
jemandem Mut machen (encourage someone)
den Mut haben, etwas zu tun
großen/viel Mut zeigen
Opposites: Angst haben, feige sein