Learn Hardcore German: Der Techniker beweist mit einem Test, dass die Batterie funktioniert. - The technician proves with a test that the battery works.

nachweisen: “to prove/demonstrate with evidence,” very common in technical/scientific contexts.
belegen: “to substantiate/document.”
zeigen: “to show” (weaker than “prove”).
prüfen/testen: “to check/test” (describes the action, not necessarily the logical proof). Examples: Der Techniker weist nach, dass … / Der Test zeigt, dass …

Because Der Techniker is the subject of the sentence and must be in the nominative case. Der is the nominative masculine singular article. Den would be accusative (used for a direct object), e.g., Der Chef ruft den Techniker an.

Why is it mit einem Test and not mit einen Test?

The preposition mit always takes the dative case. For a masculine noun like Test, the dative singular of the indefinite article is einem. The key masculine singular forms of ein are:

Nominative: ein
Accusative: einen
Dative: einem
Genitive: eines

Why does the verb go to the end in dass die Batterie funktioniert?

The conjunction dass introduces a subordinate clause, and in German subordinate clauses the finite verb goes to the end. In the main clause, the finite verb is in the second position (Der Techniker beweist …), but in the dass-clause it moves to final position (… dass die Batterie funktioniert).

Do I have to use dass here, or can I drop it like in English (“proves the battery works”)?