Learn Hardcore German: Ich brauche deine Unterschrift auf dem Formular.

Brauchen takes a direct object in the accusative.
Unterschrift is feminine, so in the accusative it stays die/deine Unterschrift (feminine accusative = feminine nominative).
deinen is masculine accusative (e.g., deinen Ausweis), not correct here.
deiner is feminine dative/genitive; you’d use it after dative/genitive triggers (e.g., mit deiner Unterschrift).

What case is auf dem Formular, and why dem and not den?

auf is a two-way preposition. With a location (no movement), it takes the dative.
Formular is neuter, so dative singular is dem: auf dem Formular.
den would be masculine accusative or dative plural, so it doesn’t fit here.

When would it be auf das/aufs Formular instead?

Use accusative (and often the contraction aufs) for movement onto the surface:

Setz deine Unterschrift aufs Formular. (Put your signature onto the form.)
Schreib das Datum aufs Formular. Static location = dative (auf dem); movement onto = accusative (aufs).

Could I say im Formular or am Formular instead of auf dem Formular?

For the place where a signature appears, German idiom is auf dem Formular (on the surface).
im Formular means “inside the form” (e.g., an error im Formular) and is not used for a signature’s placement.
am Formular usually means “at the form” in the sense of working on/with it, not where a signature is.

What are the genders and plurals of Unterschrift and Formular?

die Unterschrift (fem.), plural: die Unterschriften
das Formular (neut.), plural: die Formulare

Is the word order fixed? Can I move auf dem Formular?

Word order is flexible for emphasis as long as the finite verb stays in position 2:

Neutral: Ich brauche deine Unterschrift auf dem Formular.
Focus on location: Auf dem Formular brauche ich deine Unterschrift.
Focus on the signature: Deine Unterschrift brauche ich auf dem Formular.

How do I make this more polite or formal?

Options:

Formal pronoun: Ich brauche Ihre Unterschrift auf dem Formular.
Soften with Konjunktiv II: Ich bräuchte Ihre Unterschrift auf dem Formular, bitte.
Indirect request: Könnten Sie bitte das Formular unterschreiben? / Würdest du bitte das Formular unterschreiben?

Can I say Ich brauche, dass du das Formular unterschreibst?

It’s grammatical but sounds clunky in everyday German. Prefer:

Ich brauche deine Unterschrift (auf dem Formular).
Kannst du (bitte) das Formular unterschreiben?

Is brauchen like a modal verb with zu? Can I say Ich brauche zu unterschreiben?

No, not in standard affirmative usage. Use müssen:

Standard: Ich muss unterschreiben.
Negative with brauchen + zu is common: Du brauchst das Formular nicht zu unterschreiben. (= You don’t need to sign the form.)

What’s the difference between brauchen and benötigen?

brauchen is neutral/common.
benötigen is a bit more formal/bureaucratic: Ich benötige Ihre Unterschrift (auf dem Formular). Both take the accusative.

Why not use Signatur for “signature”?

In everyday German, the normal word is Unterschrift. Signatur is technical (e.g., cryptography) or can mean a catalog/call number. To “sign,” use unterschreiben (neutral) or unterzeichnen (more formal).

How would I say this to multiple people?

Informal plural: Ich brauche eure Unterschriften. (each person signs)
Formal (one or many people): Ich brauche Ihre Unterschrift (one signature from one person) or Ihre Unterschriften (signatures from several people). Note: eure Unterschrift suggests a single shared signature, which is usually not what you want.

Can I drop the location and just say I need the signature?

Yes: Ich brauche deine/Ihre Unterschrift. You can add location when relevant:

Ich brauche Ihre Unterschrift hier.
Bitte unterschreiben Sie hier auf dem Formular.

Any quick pronunciation tips?

brauche: au like “ow” in “now”; ch is the harsh sound as in “Bach.”
deine: ei like “eye.”
Unterschrift: stress on the first syllable: UN-ter-schrift.
Formular: stress on the last syllable: Formu-LAR.