После завтрака я собираюсь немного поучиться грамматике.

Because the preposition после requires the genitive case (родительный падеж): после + Genitive.
So завтрак (nominative) changes to завтрака (genitive): после завтрака = after breakfast.

It’s genitive singular of завтрак.
You can tell because:

• The base noun is masculine: завтрак
• Genitive singular often ends in -а / -я for many masculine nouns: завтрак → завтрака
  Genitive plural would be different (and would usually appear after numbers or in other contexts).

Я собираюсь is the 1st-person singular present tense of собираться (imperfective). It’s used to express an intention/plan:

• я собираюсь + infinitive = I’m going to / I plan to ...
  Here: я собираюсь поучиться = I’m going to do a bit of studying.

In Russian, the verb meaning to get ready / to be about to / to plan is typically собираться (with -ся).
The non-reflexive собирать means to gather/collect (like collecting stamps), which is a different verb.

Поучиться is a perfective form (with prefix по-) meaning to study for a while / to do some studying (for a limited time).
Учиться is imperfective and is more like to study (in general, ongoing, as a process/habit).
So:

• я собираюсь поучиться = I’m going to study a bit (a contained chunk)
• я собираюсь учиться = I’m going to be studying / I’m going to study (more open-ended)

Here немного modifies the action поучиться: to study a little.
This placement is common: собираюсь немного поучиться.

Other natural options exist with slight emphasis changes, for example:

• После завтрака я собираюсь поучиться немного грамматике. (emphasis on a little later)
• После завтрака я немного собираюсь поучиться... (usually sounds odd; немного doesn’t naturally modify собираюсь)

The verb учиться / поучиться typically takes:

• dative for the subject/field you learn: учиться чему? → грамматике
  So поучиться грамматике = to study grammar (as a subject/area).

If you say учить грамматику (different verb), that usually takes the accusative:

• учить что? → грамматику (to learn/study grammar in the sense of actively learning/teaching material)

Common learner-friendly rule of thumb:

• учиться (чему?) грамматике = to study/learn grammar as a skill/subject (being a student)
• учить (что?) грамматику = to learn/memorize/work through grammar material (or to teach grammar, depending on context)

In everyday speech, both can translate as study grammar, but the case and nuance differ.

Yes. Russian often omits subject pronouns because the verb ending already shows the person.
You can say: После завтрака собираюсь немного поучиться грамматике.
Keeping я adds a bit of emphasis/clarity (for contrast, topic shift, etc.).

Russian word order is flexible, but changes can shift emphasis.
Neutral/natural here: После завтрака я собираюсь немного поучиться грамматике.

Other possibilities:

• Я после завтрака собираюсь немного поучиться грамматике. (highlights I, or contrasts with someone else)
• После завтрака немного поучусь грамматике. (more concise; drops собираюсь and sounds more decisive)

Yes. They’re both correct, but style differs:

• после завтрака = after breakfast (short, noun phrase)
• после того как я позавтракаю = after I have breakfast (full clause, more explicit about the action)

The second one is useful if you want to stress the sequence of actions rather than the meal as a time marker.

Key stress points:

• послЕ (stress on -е)
• зАвтрак, после зАвтрака
• собирАюсь (stress on -а-)
• немнОго (stress on the first о)
• поучИться (stress on -и-)
• граммАтике (stress on -ма-)