На вопросы в чате я буду отвечать позже, потому что сейчас я занят.

I

Breakdown of На вопросы в чате я буду отвечать позже, потому что сейчас я занят.

• в: in
• на: on
• потому что: because

Questions & Answers about На вопросы в чате я буду отвечать позже, потому что сейчас я занят.

Why does it use на вопросы after отвечать?

In Russian, the verb (от)вечать typically takes the pattern отвечать на + accusative:

• отвечать на вопрос = to answer a question
• отвечать на вопросы = to answer questions

It is just the normal government (required preposition + case) for this verb. Using вопросам (dative) would be ungrammatical here, and о вопросах would mean something else (more like about questions, not answering them).

What case is вопросы in на вопросы, and how can I tell?

Вопросы here is accusative plural because of the preposition на used with отвечать на.
A quick way to check: with inanimate nouns like вопрос, nominative plural and accusative plural look the same (вопросы), so you identify the case from the preposition + verb pattern rather than the noun ending.

Why is it в чате and not в чат?

в + prepositional is used for location: in the chat → в чате.
в + accusative is used for direction/movement: into the chat → в чат (as in зайти в чат = to enter the chat).