Сегодня вечером я собираюсь немного поучиться грамматике.

I

Breakdown of Сегодня вечером я собираюсь немного поучиться грамматике.

• грамматика: the grammar
• вечер: the evening
• сегодня: today

Questions & Answers about Сегодня вечером я собираюсь немного поучиться грамматике.

Why is грамматике in the dative case and not грамматику in the accusative?

Because the verb учиться / поучиться takes its object (what you are learning) in the dative case.

• учиться / поучиться чему? → dative
  
  • Я учусь грамматике. – I study/am learning grammar.
  • Он поучился русскому языку. – He studied Russian (for a while).

By contrast, учить / выучить take the accusative:

• учить / выучить что? → accusative
  
  • Я учу грамматику. – I am learning grammar (as content).
  • Она выучила правила. – She learned/memorized the rules.

So with поучиться, the correct form is грамматике (dative), not грамматику.

What is the difference between учиться and поучиться here?

Учиться is imperfective: it describes an ongoing, habitual, or long-term process of studying.

Поучиться is perfective with the prefix по-, and here по- adds the nuance of “for a while / a bit” (limited duration).

• Я буду учиться грамматике. – I will be studying grammar (process, possibly long-term).
• Я собираюсь поучиться грамматике. – I’m going to study grammar for a while, have a study session.

So поучиться focuses on one concrete act of studying, seen as a bounded activity, not on a general course of study.