Learn Hardcore Norwegian: Vennligst ring på når du kommer. - Please ring the doorbell when you arrive.

Yes—include bold på if you mean the doorbell. bold Vennligst ring når du kommer will be taken as “please call (phone) when you arrive.” To be extra clear you can say bold ring på døra/døren or bold ring på dørklokka/dørklokken. The particle stays with the verb; don’t switch the order (not bold på ring).

Why is it bold ring and not bold ringer?

Because it’s the imperative. Norwegian imperatives use the bare stem: bold ring!, bold kom!, bold vent!. bold ringer is present tense: bold Jeg ringer nå = I’m calling now.

Is bold Vennligst natural, or does it sound stiff?

bold Vennligst is polite but rather formal/sign-like. In everyday speech people often prefer:

bold Kan du ringe på når du kommer?
bold Ring på når du kommer. (neutral imperative)
bold Vær så snill og/å ring på når du kommer. (Both og and å are accepted here.)

Where can I place bold Vennligst in the sentence?

Most natural: at the start: bold Vennligst ring på når du kommer. Other possibilities:

End position (formal/written): bold Ring på når du kommer, vennligst.
After the verb (bold Ring vennligst på …) occurs in formal notices but can sound stilted in conversation.

Should there be a comma before bold når?

Not here: bold Vennligst ring på når du kommer.
If the time clause comes first, you normally put a comma after it: bold Når du kommer, ring på.

Why is the present tense bold kommer used for a future action?

In time clauses with bold når, Norwegian uses present tense to refer to the future: bold når du kommer (i morgen). Don’t use bold skal there; bold Når du skal komme usually means “when you are supposed to come,” which is a different nuance.

Can I use bold da instead of bold når?

Use bold når for general/future/habitual time. Use bold da only for a single event in the past.

Future: bold Ring på når du kommer.
Past: bold Han ringte på da han kom.

Is it better to say bold når du kommer fram/frem or bold når du er framme/fremme?

All are fine; they differ slightly:

bold når du kommer fram/frem = when you reach the place (focus on the event).
bold når du er framme/fremme = when you are there (focus on the state). Both bold fram and bold frem are standard Bokmål spellings.

How do I say it if I want a phone call (not the doorbell)?

Add an object: bold Vennligst ring meg når du kommer. You can specify others too: bold Ring oss, Ring resepsjonen, etc.

Can I add what to ring on, like the door or the bell?

Yes, to be explicit:

bold Ring på døra/døren.
bold Ring på dørklokka/dørklokken. Just bold ring på is usually enough in context.

Are there more casual ways to say this?

Common conversational options:

bold Gi beskjed når du kommer.
bold Si ifra når du kommer.
bold Gi meg en lyd når du er her.
bold Send en melding når du er framme/fremme.

Is using bold du here polite enough? What about bold De?

Norwegian rarely uses formal bold De nowadays. bold du is normal and polite. On signs/instructions you often omit the pronoun: bold Vennligst ring på ved ankomst.

Any quick pronunciation tips?

bold Vennligst: stress the first syllable; many pronounce the g lightly or not at all (roughly VENN-ligst / VENN-list).
bold ring på: short vowel in bold ring; ng like English “sing.” bold på has a long vowel (like English “paw”).
bold når du kommer: bold å in bold når like English “door”; the double m gives a slightly longer m in bold kommer.

Is this Bokmål? What would it look like in Nynorsk?

Yes, it’s Bokmål. A natural Nynorsk version is: bold Vennlegst ring på når du kjem. Alternatives: bold Ver så snill og ring på når du kjem or simply bold Ring på når du kjem.