Learn Hardcore Japanese: watasi ha ryokou no tame ni okane wo setuyakusite imasu.

の is required to connect a noun to ために when expressing purpose: N + の + ために. So 旅行のために = “for (the purpose of) travel/a trip.”
Without の (i.e., 旅行ために) is ungrammatical.
Compare:

Noun: 健康のために (for health)
Verb: 旅行するために (in order to travel) — verbs don’t need の

What exactly does ために mean here—purpose or “because of”?

Here it’s purpose: “for the sake of / in order to (take a trip).”
ため(に) can also mean “because of,” but when the main clause is a voluntary action by the subject (like 節約する “to economize”), readers normally interpret ために as purpose.
Cause examples:

大雨のために試合は中止になった。= The game was canceled because of heavy rain. Purpose example:
旅行のためにお金を貯めています。= I’m saving money for a trip.

Why is に after ため? Can I drop it?

に is standard after ため when it means purpose: ために.
You may sometimes see ため without に in more formal/written styles with a pause: 旅行のため、…. In everyday speech, keep に.

Do I need 私は? Could I drop it or use が?

You can drop 私は if context already makes “I” clear: 旅行のためにお金を節約しています。
は marks the topic/contrast (“As for me, I’m saving…”). Use it if you’re contrasting with others or switching topics.
が is not natural here for introducing yourself as the saver; 私は is the default topic marking.

Why is を used with お金?

を marks the direct object of the verb. You are performing 節約する (to economize) on お金, so お金を.
In casual speech, を is sometimes dropped, but keeping it is safer and clearer for learners.

Is the お- in お金 necessary? What about just 金?

お金 is the normal, neutral-polite word for “money.”
金 (かね) without お can sound blunt or rough in many contexts. Use お金 by default.

What does the 〜ている in 節約しています express?

〜ている here expresses an ongoing or habitual action. It can map to:

“I’m saving (these days).”
“I’ve been saving.” (context-dependent) Using non-past 節約します would suggest a general statement or future intention (“I will save”), not the ongoing/habitual nuance.

Is 節約する the best verb for “save money”? Should I use 貯金する or 貯める?

節約する = to economize, cut down on spending (being frugal).
貯金する / 貯める = to save/put money aside (accumulation). For “I’m saving money for a trip,” Japanese often prefers the accumulation idea:
旅行のためにお金を貯めています。
旅行資金を貯めています。 Use 節約しています when emphasizing frugality itself (cutting expenses).
Note: お金を節約する is understandable but less idiomatic than saying what you’re cutting (e.g., 食費を節約する, 光熱費を節約する).

Can I say 旅行するために instead of 旅行のために?

Yes: 旅行するためにお金を貯めています is fine and explicit: “In order to travel, I’m saving money.”
With V-ために, the subject of both clauses is generally the same person. If the subjects differ, use ように instead:

(Same subject) 旅行するためにお金を貯めています。= I’m saving to travel.
(Different subject) 子どもが勉強するようにテレビを消した。= I turned off the TV so that the kids would study.

Can I use 旅行に or 旅行へ instead of 旅行のために?

Not here. 旅行に/へ marks a destination or goal with motion verbs (e.g., 旅行に行く = go on a trip).
You need 〜のために to state the purpose of 節約する.
Wrong: × 旅行にお金を節約しています
Right: 旅行のためにお金を節約しています / 旅行するために…

How flexible is the word order?

Japanese word order is flexible as long as particles are intact. All of these are natural:

私は旅行のためにお金を節約しています。 (neutral)
私はお金を旅行のために節約しています。 (slight focus on “money” first)
旅行のために私はお金を節約しています。 (fronting the purpose) The verb typically stays at the end.

How do I make this more casual or more formal?

Casual: 旅行のためにお金を節約してる。 (drop 私 if clear; している → してる)
Polite (given): 私は旅行のためにお金を節約しています。
Explanatory/polite: 旅行のためにお金を節約しているんです。 (adds “you see”/reason-giving nuance)
Very formal/written: 旅行のため、お金を節約しております。

How do I put it in the past or say “I’ve been saving”?

Past ongoing: 節約していました。 (I was saving)
Completed once: 節約しました。 (I saved)
Ongoing up to now (often best for “I’ve been”):
- 節約しています。 (context can imply “have been”)
- 節約してきました。 (I have been saving up to now) For accumulation: 貯めています / 貯めてきました may be even clearer.

Is there any ambiguity in 旅行のために here as “because of a trip”?

Not really. With a volitional main clause like 節約しています, it reads as purpose.
Cause uses of Nのために typically pair with non-volitional outcomes or statements of hindrance:

台風のために外出できませんでした。= I couldn’t go out because of the typhoon.

How can I be more specific, e.g., “for my trip to Hokkaido next summer”?

来夏の北海道旅行のためにお金を貯めています。
来年の夏に北海道へ行くためにお金を貯めています。 You can also name the fund/expense:
旅行資金を貯めています。
旅費（りょひ）を貯めています。 (travel expenses)

Are there other natural ways to say “for” here besides ために?

Yes, with slight nuances:

旅行に向けてお金を貯めています。= saving “toward” the trip (building up)
旅行に備えて節約しています。= economizing “in preparation for” the trip (readiness)
旅行用にカメラを買いました。= bought a camera “for use on” the trip (for items/tools, not purposes like saving)

How do you pronounce the key words?

私（わたし）
旅行（りょこう）
ため（ため）
お金（おかね）
節約（せつやく）
節約しています（せつやくしています）

Any common mistakes to avoid with this sentence pattern?

Using セーブする for money. Use 貯金する / 貯める or 節約する.
Saying 旅行のためのお金を節約しています. That sounds like “I’m reducing the money that’s for the trip.” Prefer 旅行のためにお金を貯めています or just 節約しています.
Using the wrong particle: × 旅行にお金を節約する; use 旅行のために.
Replacing を with が: × お金が節約しています. The correct object is お金を.
Dropping の in 旅行のために: × 旅行ために.