zimoto no siten ha sudeni aite iru kara, sugu ikeru.

Both can mean “already,” but:

• すでに is a bit formal/written.
• もう is common in conversation. Only もう naturally means “no longer” with negatives (e.g., もう開いていない = “it’s no longer open”). すでに開いていない sounds odd unless you mean “it was already not open” in a specific time frame.

In standard usage, use:

• 開いている for “open for business.”
• 空いている for “not crowded / available” (seats, time slots), e.g., 席が空いている. Some people colloquially say 店が空いている, but in careful speech/writing prefer 店が開いている for “the shop is open.”

から gives a reason: “because/since.” ので also means “because,” but is a bit softer/formal. Either is fine:

• …開いているから、すぐ行ける。 (neutral/casual)
• …開いているので、すぐ行けます。 (softer/more polite) In conversation you can even end with the reason alone: …開いているから。 (“Since it’s open (so…).”)

Japanese often omits obvious subjects. Here it’s “I/we/you” depending on context. You can add one if needed:

• 私はすぐ行ける。 (I can go right away.)
• 私たちはすぐ行ける。 (We can go right away.)

It’s inferable you’ll go “to the local branch.” Adding it is fine:

• 地元の支店にすでに開いているから、すぐ行ける。 (Ungrammatical: the に is attached to the wrong noun)
• Correct: 地元の支店はすでに開いているから、（そこに）すぐ行ける。
• Or make it explicit: 地元の支店にすぐ行ける。

For neutral-polite style:

• 地元の支店はもう開いていますので、すぐ行けます。
• 地元の支店はすでに開いているので、すぐ行けます。

Yes, but nuance changes:

• 地元の支店なら、すぐ行ける。 = “If it’s the local branch (as the option), we can go right away.” (なら sets up a condition/contrast.) You can combine reasons too: 地元の支店なら、すでに開いているからすぐ行ける。