Learn Hardcore German: Ich wünsche mir heute einen ruhigen Tag.

In German, the usual pattern is sich (Dativ) etwas wünschen – “to wish oneself something.”
So mir is the dative reflexive pronoun (to myself / for myself).

Ich wünsche mir einen ruhigen Tag. = I wish for a quiet day (for myself).
Without mir, the sentence feels incomplete: you’re not saying for whom you wish it.
With mich it would be wrong, because mich is accusative, but the verb wants a dative pronoun here.

Why is it einen ruhigen Tag and not ein ruhiger Tag?

Tag is masculine, and here it is the direct object of the verb wünschen, so it must be in the accusative singular.

For masculine nouns with ein, the forms are:

Nominative: ein ruhiger Tag (as subject)
Accusative: einen ruhigen Tag (as object)

Because Tag is the thing being wished (object), you get:

einen (not ein)
ruhigen (not ruhiger)

So: Ich wünsche mir heute einen ruhigen Tag.

What case is mir, and why is that case used?

mir is dative singular (1st person: to me, for me).

The verb pattern is:

jemandem etwas wünschen = to wish something to someone
- Ich wünsche dir einen ruhigen Tag. = I wish you a quiet day.
sich (Dat.) etwas wünschen = to wish oneself something
- Ich wünsche mir einen ruhigen Tag. = I wish for myself a quiet day.

So the person who receives the wish is in the dative, and the thing being wished is in the accusative.

Can I change the word order, for example to Heute wünsche ich mir einen ruhigen Tag?

Yes, that is perfectly correct:

Ich wünsche mir heute einen ruhigen Tag. (neutral, very common)
Heute wünsche ich mir einen ruhigen Tag. (emphasises today)

German main clauses follow the verb‑second rule: the finite verb (here wünsche) must be in the second position.
You can put Heute at the beginning, but then wünsche must come second, and ich moves behind it.

Both sentences mean the same thing; the change is mostly about emphasis and rhythm.

Where should heute go, and does moving it change the meaning?

In neutral word order, a typical pattern is:

Subject – verb – (short pronouns) – time – other information – object

So:

Ich wünsche mir heute einen ruhigen Tag. is a textbook example.

Other possible positions:

Heute wünsche ich mir einen ruhigen Tag. (focus on today)
Ich wünsche mir einen ruhigen Tag heute. (correct, but sounds a bit heavier / less typical)

The basic meaning doesn’t change; moving heute mostly changes emphasis and what sounds most “natural” to a native speaker.

What’s the difference between Ich wünsche mir einen ruhigen Tag, Ich hoffe auf einen ruhigen Tag, and Ich will einen ruhigen Tag?

All three express a desire, but with different nuances:

Ich wünsche mir einen ruhigen Tag.
= I wish for / I would really like a quiet day.
Gentle, a bit dreamy, not demanding.
Ich hoffe auf einen ruhigen Tag.
= I’m hoping for a quiet day.
Focus on expectation or hope about how things will turn out.
Ich will einen ruhigen Tag.
= I want a quiet day.
Strong will, can sound demanding or a bit stubborn, depending on tone.

In many everyday contexts, Ich wünsche mir… is softer and more polite than Ich will….

Is wünschen always reflexive, or can I use it without mir?

wünschen is not always reflexive. There are two main patterns:

jemandem etwas wünschen (no reflexive)
- Ich wünsche dir einen ruhigen Tag.
  = I wish you a quiet day.
- Wir wünschen Ihnen alles Gute.
  = We wish you all the best.
sich (Dat.) etwas wünschen (reflexive)
- Ich wünsche mir einen ruhigen Tag.
  = I wish for a quiet day (for myself).

So wünschen itself is just a normal verb; it can take a reflexive pronoun when you’re wishing something for yourself.

What does ruhig really mean here—“quiet”, “calm”, or “peaceful”?

All of those are possible shades of meaning.

In einen ruhigen Tag, ruhig can mean:

quiet (not a lot of noise, not hectic)
calm (not stressful, no drama)
peaceful (relaxed, undisturbed)

Context decides the best English translation, but the idea is a day without stress, noise, or turmoil.
Common English equivalents would be: a quiet day, a calm day, or a peaceful day.

Why is Tag capitalized?

In German, all nouns are capitalized, regardless of where they appear in the sentence.

Tag is a noun → Tag (capital T)
ruhig is an adjective → ruhigen (lowercase r)

So einen ruhigen Tag follows the general rule: noun capitalized, adjectives not.

How could I adapt this sentence with other nouns, and what changes in the grammar?

You can keep the structure and just change the noun; the article and adjective ending will change with gender:

Masculine (der Abend):
Ich wünsche mir heute einen ruhigen Abend.
(accusative masculine: einen ruhigen Abend)
Feminine (die Nacht):
Ich wünsche mir heute eine ruhige Nacht.
(accusative feminine: eine ruhige Nacht)
Neuter (das Wochenende):
Ich wünsche mir heute ein ruhiges Wochenende.
(accusative neuter: ein ruhiges Wochenende)
Plural with no article (Tage):
Ich wünsche mir heute ruhige Tage.
(accusative plural without article: ruhige Tage)

The pattern Ich wünsche mir heute … stays the same; you just adjust ein/eine/einen and the adjective ending according to gender, number, and case.