Learn Hardcore German: Mit dem Lappen wische ich den Tisch ab; der Eimer steht daneben. - With the cloth I wipe the table; the bucket stands next to it.

Because mit always governs the dative case. der Lappen (masc.) → dative singular dem Lappen. Using den would be accusative and incorrect after mit. Examples: mit dem Eimer, mit der Bürste, mit den Lappen (plural).

Why is it den Tisch and not dem Tisch?

It’s the direct object of abwischen, so it’s in the accusative: der Tisch → den Tisch. Compare: Ich wische den Boden.

Why does ab go to the end of the clause?

abwischen is a separable-prefix verb. In main clauses the finite verb is in 2nd position and the prefix moves to the end: … wische … ab. In a subordinate clause the prefix rejoins the verb: …, weil ich den Tisch abwische. In the perfect: Ich habe den Tisch abgewischt.

Why is the subject ich after the verb here?

German main clauses are verb-second (V2). When you put a non-subject element first (here, Mit dem Lappen), the finite verb stays second and the subject follows it: Mit dem Lappen wische ich …

Can I also say Ich wische den Tisch mit dem Lappen ab?

Yes. That’s the neutral order. Fronting Mit dem Lappen in the original puts emphasis on the tool.

What’s the difference between wischen and abwischen?

wischen = to wipe (general action): Ich wische den Tisch. / Ich wische über den Tisch.
abwischen = to wipe something off a surface, i.e., clean it: Ich wische den Tisch ab. Related:
wegwischen (wipe away/remove),
aufwischen (wipe/mop up spilled liquid, often from the floor).

What exactly does daneben mean here, and why not neben dem Tisch?

daneben is a pronominal adverb (da- + neben) meaning next to it. It refers to the previously mentioned thing (the table). You can spell it out as Der Eimer steht neben dem Tisch. Use personal pronouns for people: neben ihm/ihr.

Can I front daneben: Daneben steht der Eimer?

Yes. That emphasizes the location. The verb remains second: Daneben steht der Eimer.

Why steht and not ist?

German prefers posture verbs for static location:

stehen (be standing/upright),
liegen (be lying),
sitzen (be sitting). A bucket normally steht somewhere. Der Eimer ist daneben is understandable but less idiomatic.

Which case does neben take?

Static location: dative — Der Eimer steht neben dem Tisch.
Motion towards a place: accusative — Ich stelle den Eimer neben den Tisch. With daneben (an adverb), no case is shown.

Is the semicolon necessary? Could I use a comma or a period instead?

All are possible:

Semicolon links two closely related main clauses.
Period: … ab. Der Eimer steht daneben. Neutral.
Comma without a conjunction is also acceptable for juxtaposed main clauses in German: … ab, der Eimer steht daneben. The semicolon is a bit clearer/formal.

What are the genders and plurals of Lappen, Eimer, and Tisch?

All three are masculine:

der Lappen, plural die Lappen
der Eimer, plural die Eimer
der Tisch, plural die Tische

Where do objects and pronouns go with separable verbs like abwischen?

Place them before the separated prefix:

Noun object: Ich wische den Tisch ab.
Pronoun object usually early: Ich wische ihn ab. Topicalization is fine: Den Tisch wische ich ab. But not: Ich wische ab den Tisch.

Why not mit einem Lappen?

You can say that too. mit dem Lappen = with the specific/known cloth; mit einem Lappen = with a (non-specific) cloth. Choose based on context and definiteness.

Is there an instrumental case here?

No. German uses mit + dative to express instruments/tools: mit dem Lappen, mit der Bürste, mit den Händen.

Any regional or stylistic variants for Eimer?

Yes. In southern German/Austrian usage, der Kübel is common for “bucket.” You might also hear der Putzeimer for “cleaning bucket.”

Does Lappen have other meanings?

Yes:

Ordinary: a rag/cloth for cleaning.
Colloquial/pejorative: a weakling/coward.
Colloquial: slang for driver’s license (der Lappen).

Any pitfalls with daneben?

It also means “out of line/wrong” in expressions like Das war total daneben.
It’s one word in this sense; don’t write da neben.