Learn Hardcore German: Wir legen Trinkgeld auf den Tisch.

Because auf is a two-way preposition. Use accusative for movement/direction onto a surface (Wir legen … auf den Tisch = we put it onto the table) and dative for location (Es liegt auf dem Tisch = it is on the table). “Tisch” is masculine, so its accusative article is den.

Why use “legen” instead of “stellen” or “setzen”?

legen = lay something so it ends up lying horizontally; default for flat/loose items like money, paper.
stellen = set/stand something upright (a bottle, a vase).
setzen = set a person down; seat someone/sit down. Coins/bills are laid down, so legen fits.

What’s the difference between “legen” and “liegen”?

legen is transitive (someone lays something): Wir legen das Geld auf den Tisch.
liegen is intransitive (something lies): Das Geld liegt auf dem Tisch. Motion (legen + accusative) vs state (liegen + dative with “auf”).

Why is there no article before “Trinkgeld”?

Here it’s used like a mass noun, meaning “some tip.” German often drops the article in that sense. If you mean a particular tip, use the article: Wir legen das Trinkgeld auf den Tisch. You can also use an indefinite with an adjective: Wir legen ein kleines Trinkgeld auf den Tisch.

What genders are “Trinkgeld” and “Tisch”?

Trinkgeld is neuter: das Trinkgeld.
Tisch is masculine: der Tisch (accusative: den Tisch; dative: dem Tisch).

Why are “Trinkgeld” and “Tisch” capitalized, and why is “Trinkgeld” one word?

All German nouns are capitalized. Trinkgeld is a compound noun (trinken + Geld) written as one word.

Can I say “aufs Tisch”?

No. aufs = auf + das (neuter/accusative). “Tisch” is masculine, so you need auf den Tisch. You could say aufs Tablett (“onto the tray”), because “Tablett” is neuter. Colloquial dialect may say auf’n Tisch, but that’s not standard.

Is the word order fixed? Could I say “Wir legen auf den Tisch Trinkgeld”?

Default and most natural is object before the prepositional phrase: Wir legen (das) Trinkgeld auf den Tisch. “Wir legen auf den Tisch Trinkgeld” is possible but marked/sounds odd in neutral contexts. Pronouns come earlier: Wir legen es auf den Tisch.

Can I front the prepositional phrase?

Yes; German keeps the verb in second position (V2): Auf den Tisch legen wir Trinkgeld. This adds emphasis to the location.

How do I replace “auf den Tisch” with a pronoun?

Use a da(r)-compound: darauf (“onto it/thereon” for things). Example: Wir legen es darauf. Colloquial: drauf. Don’t use “auf ihn” for objects like a table; that sounds like a person.

How do I negate this sentence?

Use kein with the bare noun: Wir legen kein Trinkgeld auf den Tisch. If you had a definite article, you’d negate differently: Wir legen das Trinkgeld nicht auf den Tisch.

How do I say it in the past?

Most common in speech: Wir haben Trinkgeld auf den Tisch gelegt. Simple past (more written): Wir legten Trinkgeld auf den Tisch.

When would I use “an den Tisch” instead of “auf den Tisch”?

an den Tisch = to the table (to sit/stand next to it): Wir gehen an den Tisch. Setz dich an den Tisch.
auf den Tisch = onto the tabletop: Wir legen das Geld auf den Tisch.

Are there more natural ways to say “leave a tip” in German?

Yes:

Trinkgeld geben: Wir geben Trinkgeld.
Trinkgeld dalassen: Wir lassen (das) Trinkgeld da.
More explicit location/state: Wir lassen das Trinkgeld auf dem Tisch liegen. (Note the dative with the state: auf dem Tisch.)

Can/should I add “hin” (“hinlegen”) here?

You can say Wir legen (das) Trinkgeld hin (we put it down). With a specific destination, use either the particle or the phrase, not both redundantly: prefer Wir legen … auf den Tisch rather than “auf den Tisch hin.”

Any quick pronunciation tips?

Wir [viːɐ]
legen [ˈleːɡn̩] (long e)
Trinkgeld [ˈtʁɪŋkɡɛlt] (clear g)
auf [aʊf]
den [deːn]
Tisch [tɪʃ] (sch = sh)

Does “auf den Tisch legen” have an idiomatic meaning?

Yes, figuratively etwas auf den Tisch legen can mean “to put everything on the table,” i.e., to be transparent/open. Context will disambiguate from the literal meaning.