Learn Hardcore German: Wir haben uns im Park verlaufen.

It’s a reflexive pronoun referring back to the subject (wir). The verb is reflexive: sich verlaufen = to get lost (on foot). You need the reflexive pronoun with this meaning. Without it, the sentence is ungrammatical or means something else.

Why is the auxiliary haben and not sein, even though laufen normally takes sein?

Reflexive verbs in the Perfekt almost always take haben, regardless of motion. Compare:

Ich bin gelaufen. (I ran.) — non‑reflexive, motion → sein
Ich habe mich verlaufen. (I got lost.) — reflexive → haben

Note: Non‑reflexive verlaufen in the sense “to go/proceed” takes sein: Die Party ist gut verlaufen.

Where is the “ge-” in the past participle? Why is it verlaufen and not something like vergelaufen?

The prefix ver- is inseparable, so you don’t add ge- to form the participle. With inseparable prefixes (be-, emp-, ent-, er-, ge-, miss-, ver-, zer-), the participle has no extra ge-: verlaufen → participle verlaufen.

What case is uns here?

Accusative. You can see it clearly in the 1st person singular:

Ich habe mich im Park verlaufen. (accusative) Dative would be mir, which would be wrong here. Some reflexive verbs use dative when there’s also an accusative object, but sich verlaufen takes an accusative reflexive with no other object.

Why is it im Park and not in den Park or in dem Park?

im = contraction of in dem (dative).
Use dative after in for location (where?): im Park = in the park.
Use accusative after in for direction (where to?): in den Park = into the park. Saying in dem Park is fine but less natural than the contraction im.

Can I drop the reflexive pronoun and say Wir haben im Park verlaufen or use sein and say Wir sind verlaufen?

No. For “get lost (people, on foot)”, you must use the reflexive: Wir haben uns verlaufen.
Wir sind verlaufen is incorrect in this meaning.

What’s the difference between sich verlaufen, sich verirren, sich verfahren, and verloren gehen?

sich verlaufen: to get lost on foot (people). Your sentence uses this.
sich verirren: also “to get lost/stray” (people or animals); neutral, a bit more formal; interchangeable with sich verlaufen in many contexts.
sich verfahren: to get lost while driving.
verloren gehen: to get lost (objects): Der Schlüssel ist verloren gegangen.

Is Wir verliefen uns im Park also correct?

Yes. That’s Präteritum (simple past). It’s common in writing and narratives. In everyday speech, Germans prefer the Perfekt: Wir haben uns im Park verlaufen.

What’s the typical word order? Can I say Im Park haben wir uns verlaufen or Wir haben uns verlaufen im Park?

Neutral: Wir haben uns im Park verlaufen. (Pronouns tend to come early.)
Fronted place for emphasis: Im Park haben wir uns verlaufen.
Wir haben uns verlaufen im Park is possible as an afterthought, but sounds more informal/colloquial.

How do I negate it?

General negation: Wir haben uns nicht verlaufen.
If you want to negate specifically the location: Wir haben uns im Park nicht verlaufen (we didn’t get lost in the park, maybe somewhere else).
Placing nicht before im Park (Wir haben uns nicht im Park verlaufen) emphasizes “not in the park.”

How would I ask “Did you get lost in the park?” informally and formally?

Informal plural: Habt ihr euch im Park verlaufen?
Informal singular: Hast du dich im Park verlaufen?
Formal: Haben Sie sich im Park verlaufen?

How do the reflexive pronouns change with different subjects?

ich → mich (acc.), mir (dat.)
du → dich, dir
er/sie/es → sich
wir → uns
ihr → euch
sie/Sie → sich For sich verlaufen, use the accusative form: mich/dich/sich/uns/euch/sich.

Is Wir sind verloren the same as Wir haben uns verlaufen?

Not really.

Wir haben uns verlaufen = We got lost (we can’t find our way).
Wir sind verloren = We are doomed/without hope (figurative), or we are “lost” in a general sense, not specifically about navigation.

Does verlaufen have other meanings I should know?

Yes:

“to go/proceed”: Die Besprechung ist gut verlaufen.
“to run/bleed (ink/paint)”: Die Tinte verläuft.
“to run/extend (a path/line)”: Der Weg verläuft nach Norden. Only the reflexive sich verlaufen means “to get lost.”

Why is Park capitalized?

All German nouns are capitalized: der Park, der Wald, die Stadt, etc.