Learn Hardcore German: Unsere Hunde mögen einander und spielen sofort zusammen. - Our dogs like each other and play together immediately.

Unsere Hunde is the subject, so it’s in the nominative case. Hunde is plural, and the nominative plural form of the possessive determiner unser- is unsere. Compare:

Nominative singular masc.: unser Hund
Accusative singular masc.: unseren Hund
Nominative plural: unsere Hunde
Dative plural: unseren Hunden

Is mögen the right verb for “to like” here? How is it different from lieben, gern haben, or gefallen?

Yes. mögen is the standard verb “to like” for people, animals, and things: Unsere Hunde mögen einander.

lieben = “to love” (stronger emotion): Ich liebe meinen Hund.
gern haben = a very common colloquial way to say “like”: Unsere Hunde haben einander gern.
gefallen = “to please” (reverse subject/object): Der Film gefällt mir (“I like the film”). You wouldn’t say “Die Hunde gefallen einander” for mutual affection; use mögen or gern haben.

Can I say Unsere Hunde mögen sich instead of Unsere Hunde mögen einander?

Yes. mögen sich is very common and means “like each other.”

einander explicitly marks reciprocity and avoids ambiguity.
With plural subjects, sich is naturally understood as reciprocal, so both are fine:
- Unsere Hunde mögen sich.
- Unsere Hunde mögen einander.
  Note: With a singular subject, sich would be reflexive (“like oneself”), not reciprocal.

What case is einander here?

Accusative. mögen takes a direct object in the accusative, and einander fills that slot. The form einander itself does not change for case; the verb or preposition assigns the case:

Accusative: Sie mögen einander.
Dative (with a dative verb): Sie helfen einander.
With prepositions, you often see compounds like miteinander, aufeinander, etc.

Why is there no comma before und?

Because und is simply linking two coordinated predicates with the same subject (a compound predicate). In such cases, German does not use a comma: Unsere Hunde mögen einander und spielen …
Even if you repeat the subject (… und sie spielen …), a comma is still typically not used.

Is it okay to omit the pronoun after und (i.e., … und spielen … vs … und sie spielen …)?

Yes. If the subject is the same, German often omits it in the second clause: Unsere Hunde mögen einander und spielen sofort zusammen.
Adding sie is also fine and sometimes clearer: … und sie spielen sofort zusammen. Both are correct and natural.

Why is the order sofort zusammen and not zusammen sofort?

German tends to order adverbials as Time-Manner-Place. sofort is a time adverb; zusammen describes manner. So “time before manner” yields sofort zusammen.
zusammen sofort sounds off in neutral statements.

Is spielen zusammen correct, or should it be zusammen spielen?

Both are possible depending on clause structure and rhythm:

Main clause: Sie spielen zusammen. (default, very natural)
If more material follows: Sie spielen zusammen Fußball.
Subordinate clause (verb-final): …, weil sie zusammen spielen.
Your sentence’s … spielen sofort zusammen is perfectly natural.

What’s the difference between zusammen, miteinander, and gemeinsam?

zusammen = “together” in a broad sense; they’re doing it in each other’s company.
miteinander = “with one another,” often highlighting interaction/cooperation.
gemeinsam = “jointly/collectively,” stressing a shared purpose/goal and is a bit more formal.
All three can work with spielen, with slight nuance:
spielen zusammen (neutral),
spielen miteinander (emphasizes interacting with each other),
spielen gemeinsam (slightly more formal/planned).

Can I use another word for “right away,” like gleich or direkt?

Yes:

sofort = immediately (neutral, standard).
gleich = also “right away,” but regionally it can mean “in a moment/soon,” so it’s slightly ambiguous in some areas.
direkt (colloquial) can mean “right away” in some contexts: direkt zusammen spielen.
For learners, sofort is the safest and clearest.

Why are the verbs plural (mögen, spielen)?

Because the subject Unsere Hunde is plural (3rd person plural). Present-tense patterns:

mögen: ich mag, du magst, er/sie/es mag, wir mögen, ihr mögt, sie/Sie mögen
spielen: ich spiele, du spielst, er/sie/es spielt, wir spielen, ihr spielt, sie/Sie spielen

How would this look in the past or with a subordinate clause?

Simple past (Präteritum): Unsere Hunde mochten einander und spielten sofort zusammen.
Present perfect (Perfekt, common in speech): Unsere Hunde haben einander gemocht und sofort zusammen gespielt.
Subordinate clause (verb-final): …, weil unsere Hunde einander mögen und sofort zusammen spielen.