Learn Hardcore German: Frische Luft hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.

German often uses bei + dative to say something has/shows an effect in a person: (bei jemandem) eine Wirkung haben/zeigen.
A very common alternative is auf + accusative: eine Wirkung auf jemanden haben = "to have an effect on someone." This phrasing is at least as common as the one with bei.
für sie means "for her (benefit/purpose)" and is not used with Wirkung. Examples:
Frische Luft hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.
Frische Luft hat eine beruhigende Wirkung auf sie. (equally idiomatic)
Dieses Medikament zeigt bei mir keine Wirkung.

What case is "ihr" here, and why not "sie"?

bei always takes the dative.
ihr is the dative singular ("to/with her").
sie would be nominative or accusative; you’d use it with auf: auf sie. Pronoun snapshots:
Dative after bei: bei mir/dir/ihm/ihr/uns/euch/ihnen/Ihnen
Accusative after auf: auf mich/dich/ihn/sie/uns/euch/sie

Why is "Frische" capitalized? Aren’t adjectives lowercase in German?

It’s capitalized only because it’s the first word of the sentence. The adjective is otherwise lowercase: frische Luft.
Nouns are capitalized (Luft), adjectives generally are not unless nominalized or sentence-initial. Examples:
Die frische Luft tut gut.
Frische Luft tut gut. (capital F because it begins the sentence)

Why is there no article before "frische Luft"? Could I say "Die frische Luft"?

With mass/uncountable nouns used generically (Luft, Wasser, Musik), German often omits the article: Frische Luft tut gut.
Die frische Luft is fine when you mean specific air (e.g., in the forest just now) and is also used generically in many contexts. Choice depends on nuance or style. Examples:
Generic: Frische Luft hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.
Specific: Die frische Luft im Wald hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.

Could I say "Frische Luft wirkt beruhigend (auf sie)" instead of "hat ... eine beruhigende Wirkung"?

Yes.

wirken + adjective/adverb: Frische Luft wirkt beruhigend (auf sie).
eine Wirkung haben: Frische Luft hat (auf sie/bei ihr) eine beruhigende Wirkung. The version with the verb wirken is shorter and common in speech; the Wirkung haben version sounds a bit more formal/abstract.

Why "eine beruhigende Wirkung" and not "ein beruhigender Wirkung"?

Wirkung is feminine (die Wirkung).
After the indefinite article eine, the adjective takes the feminine singular ending -e in nominative/accusative: eine beruhigende Wirkung.
ein beruhigender Wirkung is wrong: wrong article (should be eine) and wrong ending (the -er ending would be masculine nominative).

Where can I place "bei ihr" in the sentence?

Prepositional phrases are flexible.

Neutral: Frische Luft hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.
Emphasis on the person: Bei ihr hat frische Luft eine beruhigende Wirkung.
End position: Frische Luft hat eine beruhigende Wirkung bei ihr. (possible; many speakers prefer ... Wirkung auf sie at the end) Remember main-clause verb-second: the finite verb (hat) stays in 2nd position.

What’s the difference between "Wirkung" and "Auswirkung"?

Wirkung: the immediate, inherent effect of something (medicine, coffee, air).
Auswirkung: a consequence/impact, often broader or longer-term. Examples:
Kaffee hat (bei mir) eine starke Wirkung.
Die neuen Regeln haben negative Auswirkungen auf die Wirtschaft.

Can I just say "Frische Luft beruhigt sie"?

Yes. beruhigen is transitive:

Frische Luft beruhigt sie. (more direct, less formal) Compared to hat … eine beruhigende Wirkung, it sounds more immediate and conversational.

Could "bei ihr" mean "at her place" here?

Not in this context. With Wirkung, bei ihr means "for her/as far as she is concerned."

Location meaning: Ich bin heute Abend bei ihr. (= at her place)
Effect meaning: Das Medikament wirkt bei ihr nicht. / Frische Luft hat bei ihr eine beruhigende Wirkung.

How would the pronoun change with other people (me, us, them)?

Use dative after bei:

me: bei mir
you (sing.): bei dir
him: bei ihm
her: bei ihr
us: bei uns
you (pl.): bei euch
them: bei ihnen (lowercase for "them")
polite you: bei Ihnen With names: bei Anna, bei meinem Bruder.

Is it okay to omit the article: "Frische Luft hat beruhigende Wirkung"?

Possible but stylistically formal/technical. In everyday speech, the article is preferred: hat eine beruhigende Wirkung. In formal writing you also see:

zeigt (eine) beruhigende Wirkung (with or without the article).

What exactly is "beruhigend"? How is it formed?

It’s the present participle of beruhigen (to calm), formed with -end: beruhigend.
As an attributive adjective: eine beruhigende Wirkung.
As a predicative/adverbial complement: Frische Luft wirkt beruhigend.

Can I use the single word "Frischluft" instead of "frische Luft"?

Frischluft exists and is common in technical/administrative contexts (ventilation, HVAC): Frischluftzufuhr.
In everyday speech, frische Luft is more idiomatic: Ich brauche frische Luft.

Why use "hat" here—could I say "ist beruhigend"?

haben + Wirkung is a set collocation: eine (beruhigende) Wirkung haben.
Frische Luft ist beruhigend is also fine, but it states a general property. If you keep the personal angle, prefer:
- Frische Luft wirkt beruhigend (auf sie).
- Frische Luft hat (bei ihr/auf sie) eine beruhigende Wirkung.