De allergische patiënt had een pijnlijke arm.

Because they are adjectives placed before nouns.

The basic forms are allergisch and pijnlijk, but when Dutch adjectives come before a noun, they usually take -e:

• de allergische patiënt
• een pijnlijke arm

A very important exception is with an indefinite singular het-word:

• een groot huis
• een pijnlijk been

But in your sentence, both patiënt and arm are de-words, so the -e form is used.

Compare:

• De patiënt is allergisch.
• De arm is pijnlijk.

After the verb, the adjective normally appears without -e.

This is about definite vs indefinite reference.

• de = the
• een = a / an

So:

• de allergische patiënt = the allergic patient
  You are talking about a specific patient.
• een pijnlijke arm = a painful arm
  You are not identifying which arm in a definite way; you are just describing it.

If you wanted the painful arm, you would say:

• de pijnlijke arm

Arm is a de-word:

• de arm

That matters because adjective endings in Dutch depend partly on whether a noun is a de-word or het-word.

So you get:

• een pijnlijke arm

But with a singular indefinite het-word, you often do not add -e to the adjective:

• het been
• een pijnlijk been

This is one of the most useful adjective patterns to learn early.

Had is the simple past of hebben.

• infinitive: hebben = to have
• present tense: heeft = has
• past tense: had = had

So:

• De patiënt heeft een pijnlijke arm. = present
• De patiënt had een pijnlijke arm. = past

Because Dutch main clauses normally follow the verb-second rule, often called V2.

In a normal statement, the finite verb comes in the second position:

• De allergische patiënt had een pijnlijke arm.

Here:

1. De allergische patiënt = first element
2. had = second element

If you move another element to the front, the verb still stays second:

• Gisteren had de allergische patiënt een pijnlijke arm.

This is a very common Dutch word-order pattern.

The two dots on ë show that the vowels are pronounced in separate syllables.

So patiënt is not read as one combined vowel sound. The spelling tells you to separate it:

• pa-ti-ent structure

The trema in Dutch often does this job in words like:

• patiënt
• reëel
• skiën

It is not mainly there for stress; it is there to show vowel separation.

The dictionary forms are:

• allergisch = allergic
• pijnlijk = painful

These are the forms you usually see listed in a dictionary.

In the sentence, they become:

• allergische before patiënt
• pijnlijke before arm

So a useful pattern is:

• before a noun: often -e
• after a verb: usually no -e

For example:

• de allergische patiënt
• de patiënt is allergisch

and

• een pijnlijke arm
• de arm is pijnlijk

The ij in pijn is roughly like the vowel in English eye, though it is not exactly the same.

So pijn sounds approximately like pine.

That means pijnlijke is roughly:

• PINE-luh-kuh

A few extra pronunciation notes:

• the stress is on the first syllable: PIJN-lijke
• the final -e is a weak uh sound
• -lijk- is often pronounced quite lightly in normal speech

Yes, but it changes the nuance.

• een pijnlijke arm = a painful arm
• zijn pijnlijke arm = his painful arm

In your sentence, een pijnlijke arm is neutral and natural: it simply states that the patient had an arm that was painful.

Using zijn or haar makes the arm more specifically identified and can sound more emphatic or contrastive:

• De patiënt had zijn pijnlijke arm nauwelijks kunnen bewegen.

So both are possible, but they do not feel exactly the same.