Пацієнту потрібен лікарняний.

Because Ukrainian often expresses need with a pattern like:

[someone in the dative] + потрібен / потрібна / потрібне / потрібні + [thing needed]

So this sentence is structured more like:

To the patient, a sick note is needed
rather than literally The patient needs a sick note.

That is why пацієнту is in the dative case.
Compare:

• Мені потрібна допомога. = I need help.
• Йому потрібен лікар. = He needs a doctor.
• Пацієнту потрібен лікарняний. = The patient needs sick leave / a sick note.

So пацієнту means to/for the patient.

Because in this construction, the thing that is needed is normally in the nominative case, not the accusative.

In other words, Ukrainian treats лікарняний as the thing that is necessary, so grammatically it behaves like the subject of the sentence.

That is why the structure is:

• пацієнту — dative
• потрібен — agrees with the thing needed
• лікарняний — nominative

You can think of it as:

A sick note is necessary for the patient.

That is why лікарняний stays nominative.

Here потрібен agrees with лікарняний, which is masculine singular.

So the pattern is:

• потрібен for masculine singular
• потрібна for feminine singular
• потрібне for neuter singular
• потрібні for plural

Examples:

• Пацієнту потрібен лікарняний.
• Пацієнту потрібна довідка.
• Пацієнту потрібне обстеження.
• Пацієнту потрібні ліки.

As for the other forms:

• потрібно is often used more generally, especially with infinitives or whole ideas:
  Пацієнту потрібно відпочити. = The patient needs to rest.
• потрібний is the full dictionary form of the adjective, but in this sentence the natural predicative form is потрібен.

Yes—English needs is, but Ukrainian usually omits the present-tense verb to be.

So:

Пацієнту потрібен лікарняний.

literally works like:

Пацієнту [є] потрібен лікарняний.

But in normal modern Ukrainian, є is usually left out in sentences like this.

This is very common:

• Він лікар. = He is a doctor.
• Мені холодно. = I am cold.
• Пацієнту потрібен лікарняний. = The patient needs a sick note.

In everyday Ukrainian, лікарняний often means sick leave, a sick note, or a medical certificate for sick leave, depending on context.

Originally it is related to лікарня (hospital), but in real usage лікарняний is often a shortened noun-like form of expressions such as:

• лікарняний лист
• лікарняний листок

So in conversation, people often just say:

• взяти лікарняний = to go on sick leave / get a sick note
• оформити лікарняний = to arrange sick leave
• закрити лікарняний = to close out the sick-leave document

So although it looks like an adjective, here it functions like a noun.

Yes. Ukrainian word order is more flexible than English, although the neutral order here is:

Пацієнту потрібен лікарняний.

Different word orders can shift emphasis:

• Пацієнту потрібен лікарняний.
  Neutral: the patient needs sick leave.

• Лікарняний потрібен пацієнту.
  Emphasizes лікарняний.

• Потрібен пацієнту лікарняний.
  More marked or stylistic; possible in context, but less neutral.

For learners, the safest default is the original order.

Yes, but it sounds a bit different.

A possible alternative is:

Пацієнт потребує лікарняного.

This uses the verb потребувати = to need / to require.

A few things to notice:

• now пацієнт is nominative
• лікарняного is usually in the genitive
• the style is often a bit more formal or bookish than пацієнту потрібен...

In everyday speech, пацієнту потрібен лікарняний is very natural.

So both patterns exist, but they are built differently:

• Пацієнту потрібен лікарняний.
• Пацієнт потребує лікарняного.

It agrees with the thing needed, not with the person who needs it.

Here:

• пацієнту = dative singular, masculine noun
• лікарняний = nominative singular, masculine noun
• потрібен = masculine singular, agreeing with лікарняний

This is important because English speakers often expect the adjective to match the patient, but in Ukrainian it matches the needed thing.

Compare:

• Пацієнту потрібна довідка.
  потрібна matches довідка (feminine)

• Пацієнту потрібне направлення.
  потрібне matches направлення (neuter)

• Пацієнту потрібні аналізи.
  потрібні matches аналізи (plural)

The usual stress is:

• паціє́нту
• потрі́бен
• лікарня́ний

So the sentence is pronounced roughly as:

паціє́нту потрі́бен лікарня́ний

For an English speaker, the main thing is to notice that the stress is not always where you might guess from spelling, so it is worth learning it together with the word.