Learn Hardcore Swedish: Jag är väldigt trött idag.

Jag: roughly “yah”; the final g is often very soft or silent (both “yah” and “yag” occur).
är: similar to “air” but shorter/cleaner; with a tapped/rolled r (dialect varies).
väldigt: ä like “bed”; stress on the first syllable: “VEL-dit”.
trött: ö like French “eu” in “peur” (or British “bird,” rounded); short vowel + long tt.
idag: “ee-DAHG”; many drop the final g (“ee-DAH”). Sentence stress typically falls on trött here.

Should I write "idag" or "i dag"?

Both are correct. Two-word i dag is more traditional and common in formal writing; one-word idag is very common in everyday writing. Be consistent. The same choice exists for i morgon/imorgon, i kväll/ikväll, i går/igår.

Is "väldigt" the best way to say "very"? Can I use "mycket", "jätte-" or "verkligen"?

väldigt: neutral, common. Jag är väldigt trött idag.
mycket: also “very”; slightly more formal/neutral. Jag är mycket trött idag.
jätte-: colloquial prefix “super/very”; one word: Jag är jättetrött idag.
verkligen: “really/truly” (truth/emphasis). Jag är verkligen trött idag.
riktigt: “really/quite” (degree). Jag är riktigt trött idag. Note: väldig (without -t) is an adjective meaning “enormous,” not used as an intensifier.

Does the adjective "trött" change with the subject?

Yes, predicative adjectives agree in number (and sometimes gender).

Singular common: Jag/Hon är trött.
Singular neuter: Barnet är trött. (no extra -t because it already ends in -t)
Plural: Vi/De är trötta. With other adjectives you see neuter -t: Bilen är stor, Bordet är stort, Husen är stora.

Why "är" and not different forms like "am/is/are"?

Swedish doesn’t change the verb for person in the present. är (from vara) is used for all subjects:

Jag är, du är, han/hon/den/det är, vi är, ni är, de är. Past: var (e.g., Jag var trött). Supine: varit (e.g., Jag har varit trött).

Where does negation go?

Put inte after är:

Jag är inte väldigt trött idag. If you front the time word: Idag är jag inte väldigt trött. Natural alternative: Jag är inte så trött idag.

How do I turn it into a question?

Invert the subject and verb:

Yes/no: Är du väldigt trött idag?
With a question word: Varför är du väldigt trött idag? / Hur trött är du idag?

Can I drop the subject pronoun, like just "Är väldigt trött idag"?

No. Swedish is not pro‑drop; you need the subject: Jag är väldigt trött idag. You can use impersonal man to mean “one/you in general”: Man är väldigt trött idag, but that changes the meaning.

Why is "Jag" capitalized? Is Swedish like English "I"?

It’s capitalized only because it starts the sentence. The pronoun jag is otherwise lowercase: Idag är jag väldigt trött.

Is "trött" the same as "sleepy"? Any other options?

trött: tired/fatigued (general).
sömnig: sleepy (ready to fall asleep).
utmattad: exhausted.
slut (colloquial): beat, done. Opposite: pigg (alert/energetic).

What does the double "tt" in "trött" tell me?

A double consonant signals a short preceding vowel. In trött, ö is short and tt is long. Compare vit (“white,” long i) vs vitt (short i, long tt).

Is "Jag är idag väldigt trött" wrong?

It’s grammatical but feels formal or contrastive. Everyday speech prefers Jag är väldigt trött idag or Idag är jag väldigt trött.

How would I say this about earlier today or yesterday?

Use past var:

Earlier today (looking back): Jag var väldigt trött i dag.
Yesterday: Jag var väldigt trött i går. (Same one-word/two-word options: idag/i dag, igår/i går.)

How can I strengthen or soften the statement?

Stronger: Jag är jättetrött idag. / Jag är oerhört/otroligt trött idag.
Softer: Jag är ganska/lite trött idag.