Learn Hardcore Russian: Я советую вам повторить слова сегодня вечером. - I advise you to review the words this evening.

Because советовать governs the dative for the person being advised: советовать кому?
So: Я советую вам... = I advise you.
Other forms: Я советую тебе... (informal sing.), Я советую им... (them), etc.

When do I use вам vs тебе? And when is Вам capitalized?

вам = polite singular or any plural “you.”
тебе = informal singular “you.”
In letters/emails, Russian often capitalizes Вы/Вам to show respect to one person (e.g., Я советую Вам...). In ordinary text, lowercase is standard.

Why is the perfective повторить used instead of the imperfective повторять?

Perfective (повторить) presents a single, completed action—fitting with a specific time frame like сегодня вечером.
Imperfective (повторять) highlights process/habit. Use it when you mean a regular habit or ongoing activity:

One-time advice for tonight: Советую вам повторить слова сегодня вечером.
Habitual advice: Советую вам повторять слова каждый вечер.

Could I just use the imperative, like Повторите слова сегодня вечером?

You can, but it’s more direct (a command/request). Я советую вам... sounds softer and more polite. If you want a polite imperative, you can add пожалуйста: Пожалуйста, повторите слова сегодня вечером.
An even softer advice form: Я бы советовал(а) вам повторить слова...

Is it correct to say Я советую, чтобы вы повторили слова...?

That’s not idiomatic in Russian. After советую, use an infinitive construction: Я советую вам повторить слова...
The чтобы-clause works with verbs like хочу: Я хочу, чтобы вы повторили слова.

What case is слова here, and why does it look like the nominative?

It’s the accusative plural of an inanimate noun, and for inanimates the accusative plural equals the nominative plural.

Nominative pl.: слова́
Accusative pl.: слова́ (same form)
With a verb of action like повторить, it’s a direct object, so accusative is required.

How should I place the stress in the key words?

совЕтую
повторИть
слова́ (plural “words”)
сегОдня (note it’s pronounced like “севодня”)
вЕчером

Why is it сегодня вечером and not something like сегодня вечера?

вечером (instrumental) is the standard way to say “in the evening” as an adverbial time expression. The genitive вечера appears in other constructions (e.g., до вечера, к вечеру).

Can I move сегодня вечером elsewhere in the sentence?

Yes, Russian word order is flexible. All of these are natural, with slight differences in emphasis:

Сегодня вечером я советую вам повторить слова.
Я советую вам сегодня вечером повторить слова.
Я советую вам повторить слова сегодня вечером. Avoid: Я советую повторить вам слова... if you mean “I advise you to repeat the words,” because that version can be read as “I advise (someone) to repeat the words to you.”

Can I omit я or вам?

Dropping я is common: Советую вам повторить слова... (still clearly “I advise”).
Dropping вам generalizes the advice: Советую повторить слова... = “I recommend repeating the words,” often aimed at a group/class.

Could I use посоветовать instead of советовать?

посоветовать is perfective “to give advice (once).”

Present advice now: Я советую вам...
Past: Я посоветовал(а) вам...
Future: Я посоветую вам... (I will advise you).
For a polite, hypothetical tone: Я бы посоветовал(а) вам повторить слова...

Does повторить слова mean the same as выучить слова?

No.

повторить слова = review/revise the words (go over them again).
выучить слова = learn/memorize the words (reach the result of knowing them).
Your sentence is about reviewing them tonight.

Is any comma needed in this sentence?

No. The structure советовать кому + инфинитив + обстоятельство времени takes no commas: Я советую вам повторить слова сегодня вечером.