Kiedy tęsknię za żoną, serce bije mi trochę mocniej.

In Polish, the verb tęsknić (to miss, to long for) almost always takes the preposition za plus the instrumental case.

• Pattern: tęsknić za + [instrumental]
  
  • tęsknię za żoną – I miss my wife
  • tęsknię za domem – I miss (my) home
  • tęsknię za tobą – I miss you

So tęsknię żonę is ungrammatical. The preposition za is required with this verb, and it forces the noun into the instrumental case (żoną, not żonę).

Żona is a feminine noun that changes form depending on case:

• żona – nominative (dictionary form, subject)
• żonę – accusative (direct object)
• żoną – instrumental

Because of the preposition za with the verb tęsknić, we must use the instrumental case:

• tęsknię za żoną – correct (miss my wife)
• tęsknię za żona / za żonę – incorrect

So the form żoną is there purely for grammatical reasons: za + tęsknić → instrumental.

You can say za moją żoną, but you don’t have to.

• tęsknię za żoną – I miss my wife (context usually makes it clear it’s my wife)
• tęsknię za moją żoną – I miss my wife (more explicit, a bit more emphatic/contrastive)

Polish often omits possessive pronouns (mój, moja, moje) when the relationship is obvious (family members, body parts, etc.), especially with ja / ty:

• idę do mamy – I’m going to (my) mum
• boli mnie głowa – my head hurts

So za żoną is perfectly natural here.

Polish usually drops subject pronouns because the verb ending shows the person:

• tęsknię – I miss (1st person singular, ja)
• tęsknisz – you miss (2nd person singular, ty)
• tęskni – he/she/it misses (on/ona/ono)

So kiedy tęsknię za żoną already clearly means when I miss my wife.
You can say kiedy ja tęsknię za żoną, but:

• it’s only used for contrast/emphasis, e.g. kiedy ja tęsknię za żoną, on w ogóle o niej nie myśli – when I miss my wife, he doesn’t think about her at all.

In a neutral sentence, you simply say kiedy tęsknię za żoną.

Mi is the dative form of ja (to me / for me).
Mnie is accusative or genitive (me, of me).

Here mi marks the experiencer of the feeling:

• serce bije mi trochę mocniej
  literally: the heart beats to me a bit stronger → my heart beats a bit faster

This dative of experience is very common in Polish:

• boli mnie głowa – my head hurts (accusative mnie)
• serce mi pęka – my heart is breaking (dative mi)
• nogi mi drżą – my legs are shaking (I experience it)

You cannot say serce bije mnie, because in this sentence the heart is not beating me as an object; it is just my heart that is beating, and I’m affected by it, so mi (dative) is used.

Both are correct and mean the same thing in most contexts:

• serce mi bije trochę mocniej
• serce bije mi trochę mocniej

Polish word order is flexible. The position of mi mostly affects rhythm and emphasis, not basic meaning.

Very roughly:

• serce mi bije – slightly more natural, often used, mi is closer to serce
• serce bije mi – also possible, can make the action (bije) a bit more prominent

In everyday speech you’ll very often hear serce mi bije first, but both are fine.

Yes, but the nuance changes:

• serce bije mi trochę mocniej – very natural, idiomatic; mi shows you’re the experiencer
• moje serce bije trochę mocniej – grammatically fine, but more neutral, a bit more “anatomical”/descriptive

In emotional or idiomatic contexts, Polish often prefers structures with a dative pronoun:

• serce mi pęka (very idiomatic)
• moje serce pęka (correct, but a bit more “literary” or solemn)

So serce bije mi trochę mocniej sounds especially natural when speaking about feelings.

• mocno – strongly
• mocniej – more strongly (comparative form of mocno)
• trochę – a bit, a little

So:

• bije mocniej – it beats more strongly / faster
• bije trochę mocniej – it beats a bit more strongly / a bit faster

You don’t say bardziej mocno here because Polish usually forms comparatives of adverbs with -ej:

• szybko → szybciej (fast → faster)
• głośno → głośniej (loudly → louder)
• mocno → mocniej (strongly → more strongly)

Trochę is just a modifier: trochę mocniej = a bit more strongly.

Yes, but with some stylistic nuance:

• kiedy tęsknię za żoną – neutral, standard
• gdy tęsknię za żoną – a bit more formal/literary
• jak tęsknię za żoną – more colloquial/regional (common in everyday speech, but not always recommended in formal writing)

All three can mean when in this kind of sentence.
For learning and for standard Polish, kiedy is the safest choice.

Polish always uses a comma between a main clause and a subordinate clause introduced by words like kiedy, gdy, jeśli, że etc.

Structure here:

• Subordinate clause: Kiedy tęsknię za żoną – when I miss my wife
• Main clause: serce bije mi trochę mocniej – my heart beats a bit stronger

Rule: Kiedy …, …
So the comma is obligatory:

• Kiedy tęsknię za żoną, serce bije mi trochę mocniej.

Yes. This is an aspect difference:

• tęsknić – imperfective, describes a state or ongoing feeling

  • kiedy tęsknię za żoną – when(ever) I am in a state of missing my wife

• zatęsknić – perfective, describes the moment the feeling appears

  • kiedy zatęsknię za żoną – when I start to miss my wife / when I will miss my wife (future moment)

In your sentence we are talking about what happens while you miss her (an ongoing state), so tęsknię is the natural choice.

Approximate pronunciation:

• tęsknię → [tensk-nyeh]

  • tę: like ten in English, but with a nasalized e (sounds a bit like ten said with your nose partly blocked)
  • sk: as in skip
  • nię: nyeh (soft ń
    • e)

• żoną → [zhon-ong] (but the final ą is often only lightly nasal)

  • ż: like s in measure
  • o: like o in not (British-ish)
  • ną: nasal ą, somewhat like French on, often weakened in final position, so between noh and nong

Key points:

• ę is a nasal e,
• ą is a nasal o,
• At the end of a word, Polish nasal vowels are often only slightly nasalized and may sound closer to e/o than a strong -en/-on.