Learn Hardcore Greek: Ο τουρίστας μένει στο ξενοδοχείο δίπλα στην παραλία. - The tourist stays at the hotel next to the beach.

Ο τουρίστας = “the tourist” (subject of the sentence)
τουρίστας is a masculine noun ending in -ας, so it takes ο in the nominative:
- ο τουρίστας (the tourist – subject)
- τον τουρίστα (the tourist – object)

If you want to talk about a female tourist, you usually use the feminine noun η τουρίστρια:

Η τουρίστρια μένει στο ξενοδοχείο… = The (female) tourist stays at the hotel…

What exactly is μένει? What form of the verb is this, and what does it mean?

μένει is the 3rd person singular, present tense, active voice of the verb μένω.

μένω = I stay / I live
μένεις = you (sg.) stay / live
μένει = he / she / it stays / lives
μένουμε = we stay / live
μένετε = you (pl.) stay / live
μένουν(ε) = they stay / live

In this sentence, μένει means “is staying” or “stays” (for a tourist, usually temporary accommodation).
In other contexts, μένω can also mean “to live / reside”:

Μένω στην Αθήνα. = I live in Athens.

Could I say Ο τουρίστας είναι στο ξενοδοχείο instead of μένει στο ξενοδοχείο? What’s the difference?

You can say both, but they do not mean exactly the same:

Ο τουρίστας είναι στο ξενοδοχείο.
= The tourist is at the hotel (his current location, right now).
Ο τουρίστας μένει στο ξενοδοχείο.
= The tourist is staying / lodging at the hotel (where he is accommodated, not just where he is at this moment).

So:

είναι → state / location right now
μένει → where someone is staying or living over a period of time

What is στο made of? Why not just σε το ξενοδοχείο?

στο is a contraction of the preposition σε and the neuter article το:

σε + το = στο

Greek very often contracts σε + article:

σε + τον = στον (masc. sg.)
σε + την = στην (fem. sg.)
σε + το = στο (neut. sg.)
σε + τους = στους (masc. pl.)
σε + τις = στις (fem. pl.)
σε + τα = στα (neut. pl.)

So στο ξενοδοχείο literally is “in/at the hotel”.
You would almost never say σε το ξενοδοχείο in modern Greek; στο is the normal form.

Does στο ξενοδοχείο mean “in the hotel” or “at the hotel”? How does σε work here?

The preposition σε is flexible and often covers both “in” and “at” (and sometimes “on”), depending on context.

μένω στο ξενοδοχείο
→ in natural English usually becomes “I am staying at the hotel.”

If context requires it, στο ξενοδοχείο can also be understood as “in the hotel” (inside the building). Greek doesn’t always distinguish as sharply as English between in and at; σε plus a place covers both, and English context decides the best translation.

Why is it ξενοδοχείο with το? What gender and case is this?

ξενοδοχείο is a neuter noun. Its nominative and accusative singular forms are identical: το ξενοδοχείο.

In the sentence, ξενοδοχείο is the object of the preposition σε (στο), so it is in the accusative:

το ξενοδοχείο (nominative & accusative)
του ξενοδοχείου (genitive)
στο ξενοδοχείο = in/at the hotel

Greek uses preposition + accusative to show location with σε.

What does δίπλα do in this sentence, and how does it connect to στην παραλία?

δίπλα is an adverb meaning “next to / beside”.

In common use, you almost always see it together with σε plus a noun:

δίπλα σε κάτι = next to something

In your sentence it appears as:

δίπλα στην παραλία
= δίπλα σε + την παραλία
= next to the beach

So the structure is:

μένει [στο ξενοδοχείο] [δίπλα στην παραλία]
= stays [at the hotel] [next to the beach].

What is στην? Why not just σε την παραλία?

Again, this is a contraction of σε + την:

σε + την = στην

So:

στην παραλία = σε την παραλία = at / in / on the beach

As with στο, the contracted form στην is what you actually use in speech and writing; σε την παραλία sounds unnatural in modern Greek.

Why do we say στην παραλία and not τη παραλία? What’s the role of ν here?

The ν at the end of στην comes from the feminine article την.

Basic feminine accusative article: την
With σε: σε + την → στην

About the final -ν:

In modern Greek, the ν in την and την / στην is often kept before vowels and certain consonants (κ, π, τ, ξ, ψ, μπ, ντ, γκ, τσ, τζ) for ease of pronunciation.
παραλία starts with a vowel (π is also one of those consonants), so στην παραλία is standard.

You will sometimes see or hear τη without ν in casual speech before consonants, but στην παραλία is the standard, correct form in writing.

Why is παραλία in that form? What case is it, and how does it decline?

παραλία (beach) is a feminine noun. In your sentence it is the object of the preposition σε (στην), so it’s in the accusative singular:

η παραλία (nominative, subject form) – the beach
της παραλίας (genitive) – of the beach
την παραλία / στην παραλία (accusative) – the beach (as object)

Pattern:

Nominative: η παραλία
Accusative: την παραλία

So στην παραλία = at/on the beach (here: “next to the beach”).

Can I change the word order, e.g. Ο τουρίστας μένει δίπλα στην παραλία στο ξενοδοχείο? Is that still correct?

Greek word order is more flexible than English, but not all orders sound equally natural.

Most natural here:

Ο τουρίστας μένει στο ξενοδοχείο δίπλα στην παραλία.

Other possible, still acceptable orders:

Ο τουρίστας μένει δίπλα στην παραλία, στο ξενοδοχείο.
(slight pause; emphasizing “next to the beach” first, then clarifying “at the hotel”.)
Στο ξενοδοχείο δίπλα στην παραλία μένει ο τουρίστας.
(fronting the place for emphasis: It’s at the hotel next to the beach that the tourist is staying.)

But:

Ο τουρίστας μένει δίπλα στην παραλία στο ξενοδοχείο.
is grammatically possible, yet sounds a bit awkward and less clear; listeners may momentarily wonder whether δίπλα στην παραλία goes with μένει or with στο ξενοδοχείο.

Sticking to μέσα στο ξενοδοχείο δίπλα στην παραλία is safest and most natural for learners.