Learn Hardcore German: Die Einzahlung kostet heute keine Gebühr.

Use kein-/keine/keinen to negate an indefinite noun phrase (something that would otherwise take ein-/eine). Here you’d say “eine Gebühr” in the positive, so you negate it with keine Gebühr.
Use nicht to negate:

verbs or whole clauses: Es kostet heute nicht.
adjectives/adverbs: Es ist heute nicht teuer.
definite/proper nouns: Nicht die Einzahlung, sondern die Auszahlung kostet eine Gebühr.

What case is Gebühr in, and why is it keine (not kein/keinen)?

Gebühr is the direct object of kostet, so it’s in the accusative. Gebühr is feminine; feminine accusative takes die/eine/keine.
Mini chart for accusative with kein-:

masculine: keinen (z. B. keinen Aufpreis)
feminine: keine (z. B. keine Gebühr)
neuter: kein (z. B. kein Entgelt)
plural: keine (z. B. keine Gebühren)

Is “Die Einzahlung kostet heute keine Gebühr” good word order? Where can I put heute?

Yes, it’s fine. German main clauses are verb-second; adverbs like heute are flexible:

Heute kostet die Einzahlung keine Gebühr. (time first)
Die Einzahlung kostet heute keine Gebühr. (neutral, very common)
Die Einzahlung kostet keine Gebühr heute. (possible but marked/less natural; avoid unless for special emphasis)

What are the subject and object here?

Subject (nominative): Die Einzahlung
Verb: kostet
Direct object (accusative): keine Gebühr
Adverbial of time: heute

Is “kostet … (eine) Gebühr” idiomatic, or should I say something else?

It’s understandable and used in everyday speech, but banking language more often uses:

Es fällt heute keine Gebühr an.
Die Einzahlung ist heute gebührenfrei.
Heute ist die Einzahlung kostenlos. For formal or written notices, the “Gebühr fällt an” phrasing is especially idiomatic.

What’s the difference between kostenlos and gebührenfrei?

gebührenfrei: no fee is charged. There could still be other costs (e.g., exchange rate spreads).
kostenlos: no cost at all to you. In practice, marketing often uses them interchangeably, but gebührenfrei is more precise in banking.

Should it be singular keine Gebühr or plural keine Gebühren?

Both occur:

keine Gebühr: emphasizes that the one specific fee you might expect is not charged.
keine Gebühren: generic—no fees of any kind (often used by banks: Es fallen keine Gebühren an). Use whichever best fits the context.

Why are Einzahlung and Gebühr capitalized, and what are their genders?

All German nouns are capitalized.

die Einzahlung (feminine) — nouns ending in -ung are always feminine.
die Gebühr (feminine) — memorize; plural: die Gebühren.

What’s the difference between Einzahlung, Überweisung, Anzahlung, and Einlage?

Einzahlung: depositing money into an account (cash or via machine/branch).
Überweisung: a transfer from one account to another.
Anzahlung: a down payment/partial payment on a purchase.
Einlage: a deposit as contributed capital/investment (finance); also other technical meanings.

How would I turn this into a yes/no question?

Invert verb and subject:

Positive: Kostet die Einzahlung heute eine Gebühr?
Negative: Kostet die Einzahlung heute keine Gebühr? If the reality is that a fee is charged, you can contradict the negative question with Doch! — Doch, sie kostet heute eine Gebühr.

Could I say Es gibt heute keine Gebühr für die Einzahlung instead?

Yes. It’s natural and clear. Nuances:

Die Einzahlung kostet … highlights the transaction as the “costing” subject.
Es gibt … (für …) presents the fee as something that (doesn’t) exist for that action.
Es fällt heute keine Gebühr an is the most idiomatic for fees in many formal contexts.

Why not say nicht eine Gebühr?

Nicht eine Gebühr would mean “not even one fee” (strong emphasis, almost rhetorical). The neutral negation of an indefinite noun is keine Gebühr. Use nicht eine only for emphasis: Heute fällt nicht eine einzige Gebühr an.

Pronunciation tips for Einzahlung and Gebühr?

Einzahlung: Ei sounds like English “eye”; z sounds like “ts”; the a in -zahl- is long; final -ung is like “oong” with a short u: roughly “EIN-tsaah-loong.”
Gebühr: Ge- is “guh-” with a very short e; ü is a rounded front vowel—say English “ee” while rounding your lips; h lengthens the ü; final -r is soft. Roughly “guh-BYUR,” but keep the true German ü.

Do I need the article here, or can I drop it: “Einzahlung kostet heute keine Gebühr”?

In a full sentence, use the article: Die Einzahlung kostet …
Article-dropping can appear in headlines or notices (telegraphic style), or you can go plural/general: Einzahlungen sind heute gebührenfrei. For standard prose, keep the article.