Der Auftrag ist wichtig.

Because Auftrag is a masculine noun in German. Its dictionary form is der Auftrag.

German nouns have grammatical gender, and you usually have to learn the noun together with its article:

• der Auftrag = masculine
• nominative singular: der Auftrag

This gender affects articles, adjectives, and pronouns later on.

It is in the nominative case because it is the subject of the sentence.

In Der Auftrag ist wichtig:

• Der Auftrag = the subject, so nominative
• ist = the verb
• wichtig = predicate adjective

A good English comparison is The assignment is important.
The assignment is the thing that is important, so it is the subject.

Because in a normal German main clause, the finite verb goes in second position.

So the structure is:

• Der Auftrag = first element
• ist = second-position verb
• wichtig = rest of the sentence

This is one of the most important basic German word-order rules.

Because wichtig comes after ist and is being used as a predicate adjective.

In German, predicate adjectives do not take adjective endings:

• Der Auftrag ist wichtig.
• Das Buch ist neu.
• Die Aufgabe ist schwer.

But if the adjective comes before a noun, then it does take an ending:

• der wichtige Auftrag

So:

• Der Auftrag ist wichtig. = no ending
• der wichtige Auftrag = adjective ending required

Because all German nouns are capitalized, and Auftrag is a noun.

But wichtig is an adjective, so it is normally not capitalized.

Compare:

• der Auftrag
• die Aufgabe
• das Problem

All of those nouns are capitalized.
Adjectives like wichtig, gut, neu, schwer are not.

Yes. Auftrag can have several related meanings depending on context, such as:

• assignment
• task
• order
• commission
• sometimes even mission or job

So even if the meaning has already been given to you, it is useful to know that Auftrag is a somewhat flexible word. Context usually tells you which English translation fits best.

Normally, no. In standard German, singular countable nouns usually need an article or some other determiner.

So you would normally say:

• Der Auftrag ist wichtig. = the assignment/order is important.
• Ein Auftrag ist wichtig. = an assignment/order is important.
• Aufträge sind wichtig. = assignments/orders are important.

Auftrag ist wichtig by itself sounds incomplete in ordinary standard German.

The difference is mainly definiteness:

• Der Auftrag ist wichtig. = the assignment/order is important
  → a specific one, known from the context

• Ein Auftrag ist wichtig. = an assignment/order is important
  → one unspecified assignment/order

So der points to a particular Auftrag, while ein introduces a non-specific one.

Yes. That is grammatically correct.

German allows different elements to come first, as long as the finite verb stays in second position:

• Der Auftrag ist wichtig.
• Wichtig ist der Auftrag.

The second version gives more emphasis to wichtig or sounds more contrastive, as if you are highlighting what matters.

So the neutral version is usually:

• Der Auftrag ist wichtig.

A helpful rough guide is:

• Auftrag ≈ OWF-trahk

A few pronunciation notes:

• Au sounds like the ow in cow
• tr is pronounced clearly
• the a in the second syllable is long: trag
• the final g in standard German is often pronounced somewhat like a k at the end of a word

So it may sound roughly like OWF-trahk.

Yes. Ist is the 3rd person singular present tense of sein (to be).

The forms are:

• ich bin
• du bist
• er/sie/es ist
• wir sind
• ihr seid
• sie/Sie sind

So in Der Auftrag ist wichtig, the subject der Auftrag is singular, so the verb is ist.

Yes, absolutely.

You can add adverbs before wichtig to modify the adjective:

• Der Auftrag ist sehr wichtig. = very important
• Der Auftrag ist besonders wichtig. = especially important
• Der Auftrag ist nicht wichtig. = not important

This is a very common pattern in German: subject + sein + adjective.