Pidän tästä opettajasta erityisesti siksi, että hän selittää rauhallisesti.

The verb pitää has a special construction when it means to like:

• pitää jostakusta / jostakin = to like someone/something

That jostakusta/jostakin is the elative case (the -sta / -stä form).

So:

• Pidän tästä opettajasta.
  = I like this teacher.
  (literally: I like from this teacher → idiomatically: I like this teacher.)

If you said:

• Pidän tämä opettaja.
  This is ungrammatical; pitää in the sense of like does not take a nominative object.

• Pidän tätä opettajaa.
  This would be interpreted with another meaning of pitää: to hold / to keep.
  → I am holding this teacher. (nonsense in normal context)

So whenever you want to say I like X in Finnish using pitää, you must use pitää + elative:

• Pidän sinusta. – I like you.
• Pidän kahvista. – I like coffee.
• Pidän tästä elokuvasta. – I like this movie.

Tästä opettajasta is a noun phrase where both the determiner and the noun are in the elative case:

• Base forms: tämä opettaja – this teacher
• Elative singular:
  • tämä → tästä
  • opettaja → opettajasta

So:

• tästä opettajasta literally: from this teacher
  but with pitää it means (like) this teacher.

More examples of the same pattern:

• tämä kirja → tästä kirjasta – from this book
• nämä opettajat → näistä opettajista – from these teachers
• se mies → siitä miehestä – from that man

Because pitää uses the elative, every word that belongs to the liked thing is put in the elative.

Yes. The elative (-sta / -stä) has several meanings depending on the verb.

With pitää, tästä opettajasta means this teacher (as someone I like).

With other verbs or constructions, it can mean about this teacher, from this teacher, etc., for example:

• Puhumme tästä opettajasta. – We are talking about this teacher.
• Olen kuullut tästä opettajasta paljon. – I have heard a lot about this teacher.
• Opin paljon tältä opettajalta. – I learn a lot from this teacher.
  (here tältä opettajalta is ablative, another case, but similar -lta idea)

So the exact nuance (from / about / of) depends on the verb and context.
In your sentence, the verb pitää (jostakusta) tells you it means like this teacher.

Erityisesti means especially / particularly and it modifies the liking, not the teacher.

In your sentence:

• Pidän tästä opettajasta erityisesti siksi, että hän selittää rauhallisesti.
  → I like this teacher *especially for the reason that he/she explains calmly.*

You can move erityisesti without changing the meaning much, just the emphasis:

• Pidän erityisesti tästä opettajasta siksi, että hän selittää rauhallisesti.
  Emphasis: this teacher in particular (compared to other teachers).

• Pidän tästä opettajasta siksi erityisesti, että hän selittää rauhallisesti.
  A bit marked; stresses that this particular reason makes your liking special.

Most commonly you will see either:

• Pidän erityisesti tästä opettajasta, koska…
• Pidän tästä opettajasta erityisesti, koska…

In everyday speech, word order is flexible, but the typical neutral orders are most natural.

Both can express because, but they are not identical.

• siksi, että literally: for the reason that
  It highlights the cause more explicitly as a reason.

• koska: the usual, neutral because

Your sentence:

• Pidän tästä opettajasta erityisesti siksi, että hän selittää rauhallisesti.
  → I especially like this teacher *for the reason that he/she explains calmly.*

A very natural alternative:

• Pidän tästä opettajasta erityisesti, koska hän selittää rauhallisesti.
  → I especially like this teacher *because he/she explains calmly.*

Nuance:

• siksi, että sounds a bit more emphatic or explicit about the cause, sometimes slightly more formal or written style.
• koska is simpler and very common in speech and writing.

Both are grammatically correct here.

In Finnish, a comma is generally used before että when it introduces a subordinate clause (a dependent clause).

Your sentence has two clauses:

1. Pidän tästä opettajasta erityisesti siksi,
2. että hän selittää rauhallisesti.

The second clause explains the reason; it is introduced by että and depends on the first clause. Finnish punctuation rules require a comma before such että-clauses.

This happens even when English often does not use a comma:

• Tiedän, että hän on opettaja. – I know (that) he is a teacher.
• Luulen, että ymmärrän. – I think (that) I understand.

Että is a subordinating conjunction. It functions roughly like that in English.

In siksi, että hän selittää rauhallisesti:

• siksi – for that reason
• että – that
• hän selittää rauhallisesti – he/she explains calmly

So the structure mirrors:

• siksi, että… → for the reason that…

Some other common uses of että:

• Tiedän, että se on vaikeaa. – I know that it is difficult.
• On hyvä, että opiskelet suomea. – It is good that you study Finnish.

Note: että here is not the same as että used as a filler/exclamation in speech (e.g. Että mikä?).

In Finnish, subject pronouns are often dropped, because the person is clear from the verb ending.

The verb pitää is conjugated:

• pidän – I like
• pidät – you like
• pitää – he/she likes
• pidämme – we like
• pidätte – you (plural) like
• pitävät – they like

So:

• Pidän tästä opettajasta…
  Already tells us the subject is I.

You could include the pronoun for emphasis:

• Minä pidän tästä opettajasta erityisesti siksi, että hän selittää rauhallisesti.
  This would stress I (as opposed to someone else).

But in neutral sentences, dropping the subject pronoun is normal and natural.

Hän is gender-neutral. It covers both he and she.

In your sentence:

• hän selittää rauhallisesti
  can be translated as:
  • he explains calmly or
  • she explains calmly

Finnish personal pronouns do not mark gender:

• hän – he/she
• hänen – his/her
• hänet – him/her (object form)

Spoken Finnish often replaces hän with se (literally it), but in standard written Finnish, hän is used for people.

Rauhallisesti is an adverb derived from the adjective rauhallinen (calm).

The pattern is:

• adjective + -sti → adverb

Here:

• rauhallinen – calm (adjective)
• rauhallisesti – calmly (adverb)

Other examples:

• hidas → hitaasti – slow → slowly
• selkeä → selkeästi – clear → clearly
• ystävällinen → ystävällisesti – friendly → in a friendly way

So hän selittää rauhallisesti literally means he/she explains in a calm way → he/she explains calmly.

No. That would be incorrect in standard Finnish.

To modify how someone does something (the manner), Finnish normally uses an adverb, just like English uses calmly rather than calm.

• rauhallinen – calm (adjective, describes a noun: a calm person, a calm room)
• rauhallisesti – calmly (adverb, describes an action)

So:

• Hän on rauhallinen. – He/She is calm.
• Hän selittää rauhallisesti. – He/She explains calmly.

You cannot use rauhallinen directly after the verb selittää to describe the manner of explaining.

Yes, that word order is correct and very natural:

• Pidän erityisesti tästä opettajasta siksi, että hän selittää rauhallisesti.

The basic meaning stays the same:

• You especially like this teacher, and the reason is that he/she explains calmly.

Nuance:

• Pidän tästä opettajasta erityisesti…
  Slightly more focus on this teacher.

• Pidän erityisesti tästä opettajasta…
  Slightly more focus on especially liking this particular teacher (e.g. compared with other teachers).

Both orders would be understood in the same way in most contexts.

You need to change both the noun phrase and the verb forms to plural.

Singular (your sentence):

• Pidän tästä opettajasta erityisesti siksi, että hän selittää rauhallisesti.
  – I especially like this teacher because he/she explains calmly.

Possible plural version:

• Pidän näistä opettajista erityisesti siksi, että he selittävät rauhallisesti.
  – I especially like these teachers because they explain calmly.

Changes:

• tästä opettajasta → näistä opettajista

  • tämä opettaja (this teacher) → nämä opettajat (these teachers)
  • elative plural: näistä opettajista

• hän selittää → he selittävät

  • hän (he/she) → he (they)
  • selittää (3rd singular) → selittävät (3rd plural)

The rest of the structure (pidän … erityisesti siksi, että … rauhallisesti) stays the same.