Learn Hardcore Dutch: Mijn schoenen zijn versleten.

Here it functions as an adjective meaning “worn out,” describing the state of the shoes. Historically it comes from the past participle of verslijten, but in this sentence it’s simply an adjective.

What’s the difference between slijten, verslijten, gesleten, and versleten?

slijten = to wear, to wear down (can be intransitive or transitive). Past: sleet/sleten; past participle: gesleten.
verslijten = to wear out (completely), usually transitive. Past: versleet/versleten; past participle: versleten.
gesleten = past participle of slijten; also used adjectivally as “worn.”
versleten = past participle of verslijten; very common as an adjective “worn out.” Examples:
Het tapijt is snel gesleten. (It has worn quickly – intransitive)
Ik heb mijn schoenen versleten. (I wore out my shoes – transitive)
Mijn schoenen zijn versleten. (My shoes are worn out – state)

Why not say Mijn schoenen hebben versleten?

That’s not idiomatic for the state. Use one of:

State/result: Mijn schoenen zijn (snel) versleten.
Intransitive process: Mijn schoenen zijn (snel) gesleten.
If you were the agent: Ik heb mijn schoenen versleten. Using hebben requires an agent who did the wearing-out.

How do you pronounce the sentence?

Mijn ≈ [mɛi̯n] (like English “mine” but with a clearer first vowel)
schoenen ≈ [ˈsxuːnə(n)] (Dutch sch = [s] + a harsh ch as in Scottish “loch”; oe = [u] like “food”; final -en is [ə], the n often dropped)
zijn ≈ [zɛi̯n] (voiced z, the vowel like English “day” but starting with “eh”)
versleten ≈ [vərˈsleːtə(n)] (stress on sle; ee = long [eː]; final -en as above) Stress pattern: MIJN SCHOE-nen — ver-SLE-ten.

Can I front the adjective for emphasis, like Versleten zijn mijn schoenen?

That word order is possible for strong stylistic emphasis (poetry, headlines), but it sounds marked. Neutral word order is Subject + zijn + adjective: Mijn schoenen zijn versleten. In a subordinate clause, the verb goes to the end: dat mijn schoenen versleten zijn.

What happens in the singular?

Singular: Mijn schoen is versleten.
Plural diminutives still take plural agreement: Mijn schoentjes zijn versleten.

How do I use versleten before a noun?

Put it before the noun: versleten schoenen. Adjectives normally take an -e in attributive position (except with indefinite neuter singular), but the base form here is already versleten, so you won’t see a visible change:

een versleten schoen
het versleten tapijt
een versleten huis (indefinite neuter singular; still versleten)

Why is there no article with mijn?

Possessives replace the article in Dutch: mijn schoenen, not de mijn schoenen. You can also say de schoenen van mij for emphasis or contrast: Niet die van jou, maar de schoenen van mij.

How do I negate it or say “not yet/already”?

Negation: Mijn schoenen zijn niet versleten.
Not yet: Mijn schoenen zijn nog niet versleten.
Already: Mijn schoenen zijn al versleten.

How can I intensify or soften versleten?

Stronger: helemaal/erg/zeer/heel erg versleten
Softer: best wel/een beetje/tamelijk versleten
Almost: bijna versleten Examples: Die zolen zijn helemaal versleten. / Ze zijn best wel versleten.

How do I replace Mijn schoenen with a pronoun?

Ze zijn versleten. (ze = they; context distinguishes it from singular “she”)
To specify ownership: Die van mij zijn versleten. or De mijne zijn versleten.

Is versleten also used figuratively?

Yes. It can mean “hackneyed/stale”: een versleten cliché, een versleten grap.

Is zijn versleten a passive, or just an adjective?

Usually it’s an adjectival (stative) use: the shoes are in a worn-out state. A quick test: if you can add degree words, it’s adjectival — De schoenen zijn heel erg versleten. A true passive normally uses worden for ongoing actions (De schoenen worden versleten), which is rare here; speakers prefer slijten/verslijten or the adjectival state.

Could zijn here mean his?

No. In Mijn schoenen zijn versleten, zijn is the verb to be. The possessive zijn means his and comes before a noun: Zijn schoenen zijn versleten = “His shoes are worn out.”