Ben sabahları çamaşır yıkıyorum.

It’s the present continuous in 1st person singular.

• yıka-: verb stem “to wash”
• -(I)yor: progressive/continuous marker (appears as -ıyor/-iyor/-uyor/-üyor by vowel harmony). With yıka-, it becomes -ıyor, yielding yıkıyor-.
• -um: 1st person singular ending “I”

So: yıka- + -ıyor + -um → yıkıyorum.
Other persons for reference: yıkıyorsun, yıkıyor, yıkıyoruz, yıkıyorsunuz, yıkıyorlar.

Yes, you can drop it. The personal ending in yıkıyorum already encodes “I.”

• Ben sabahları çamaşır yıkıyorum and Sabahları çamaşır yıkıyorum are both fine.
  Use Ben mainly for emphasis or contrast (e.g., “I (not someone else) do it”).

In Turkish, a general/indefinite direct object is usually left bare and often appears in the singular form, even if it’s conceptually plural or mass-like.

• çamaşır yıkıyorum = “I do laundry / I wash clothes (in general).” If you make it plural and/or mark it with accusative, you typically signal definiteness/specificity:
• çamaşırları yıkıyorum = “I’m washing the clothes/the laundry (specific).”

No. The accusative is used for a definite/specific object. Here it’s general, so no case marking:

• Indefinite/general: çamaşır yıkıyorum
• Definite/specific: çamaşırı/çamaşırları yıkıyorum (“the laundry/the clothes”)

Note: çamaşırları can also mean “their clothes” in some contexts (possessive ambiguity). If you mean “their,” make it explicit: onların çamaşırlarını yıkıyorum.

The -ları/-leri here is not accusative; it’s the distributive time marker meaning “on Xs / in the Xs (habitually).”

• sabah + lar + ı → sabahları = “in the mornings”
  Common parallels:
• akşamları “in the evenings”
• pazartesileri “on Mondays”
• hafta sonları “on weekends”

• sabah: “morning”; often “in the morning” for a specific time when context makes it clear.
• sabahleyin: “in the morning (on that particular morning/today morning).”
• sabahları: “in the mornings” (habitual/repeated).

Compare:

• Bu sabah çamaşır yıkıyorum = this morning (specific).
• Sabahları çamaşır yıkıyorum = in the mornings (as a routine).

Both are possible but they differ in nuance:

• Sabahları çamaşır yıkarım (aorist) = a timeless or regular habit (“I typically/usually do this”).
• Sabahları çamaşır yıkıyorum (present continuous) = a current routine/arrangement (“This is what I’ve been doing these days/nowadays”).

Neutral order is Subject–Time–Object–Verb:

• Ben sabahları çamaşır yıkıyorum.

You can move elements for emphasis:

• Sabahları ben çamaşır yıkıyorum (emphasis on “I”).
• Ben sabahları çamaşırı yıkıyorum (now the object is definite and emphasized).

Insert the negative -ma/-me before -(I)yor:

• Ben sabahları çamaşır yıkamıyorum.
  Breakdown: yıka- + -ma (neg) + -ıyor + -um → yıkamıyorum.

For a timeless/habitual negative, the aorist is also common:

• Ben sabahları çamaşır yıkamam (“I don’t (ever) wash clothes in the mornings”).

Use the enclitic question particle mi/mi/ mu/mü, which harmonizes and stands separate:

• Ben sabahları çamaşır yıkıyor muyum?
  Other persons: yıkıyor musun? yıkıyor mu? yıkıyor muyuz? etc.

You can, but her sabah is more explicit:

• Her sabah çamaşır yıkarım/yıkıyorum.
• Genelde sabahları çamaşır yıkarım also works (“generally, in the mornings…”).

çamaşır commonly means “laundry” (the stuff you wash). It can also refer to underwear in compounds like iç çamaşırı.
For “clothes” in general, you’ll also hear kıyafet or giysi.

• Doing laundry: çamaşır yıkamak
• Washing specific clothes: kıyafetleri/çamaşırları yıkamak (definite).

Yes:

• Ben sabahları çamaşır yıkamam = “I don’t wash clothes in the mornings (as a rule).”
• Ben sabahları çamaşır yıkarım = “I (generally) wash clothes in the mornings.”
  Use -r aorist for general truths/rules; use -yor for current routines/arrangements.