You have a couple of common alternatives:
• Llevo dos años estudiando español con la misma profesora.
• Estudio español desde hace dos años con la misma profesora.
Both mean exactly the same as Hace dos años que estudio español con la misma profesora.
No.
– Hace dos años, estudié español (no que, past tense) means “Two years ago I studied Spanish” (and suggests you stopped).
– Hace dos años que estudio español uses present tense plus que, so it means “I’ve been studying Spanish for two years” (and you’re still studying).
Yes, if you stick to the Hace…que + [present tense] pattern. The que is the link between the time expression and the verb:
• Correct: Hace dos años que estudio español.
• Incorrect: Hace dos años estudio español.
If you drop que, you must switch to desde hace or another structure.